 |
Гомоморфизм и изоморфизм групп
|
|
|
|
Гомоморфизмом группы 
в группу 
называется такое отображение 
множества 
и в множество 
, при котором композиция любых двух элементов 
и 
относительно операции 
отображается в композицию образов элементов и 
относительно операции 
, т. е. 
. При гомоморфизме групп: 1) нейтральный элемент 
группы отображается в нейтральный элемент 
группы , т. е. 
. 2) пара симметричных элементов , 
группы отображаются в пару симметричных элементов 
, 
группы .
Множество всех элементов группы , которые при гомоморфизме отображаются в нейтральный элемент группы относительно сужений операции образует подгруппу группы , которая является нормальным делителем группы и называется ядром гомоморфизма 
.
Задача 69. Определить, является ли отображение 
гомоморфизмом группы 
в группу 
. Если «да», то найти 
.
Решение. 
.
При отображении возможны следующие случаи:
1) – чет, – чет; 2) – нечет, – чет; 3) – чет, – нечет; 4) – нечет, – нечет. Проверим, как ведут себя 
. В первом случае 
– чет, следовательно 
. Но 
, 
, т. к. и – четные. Тогда 
. Во втором случае – нечетные, следовательно 
. Но 
, и 
, т. е. 
. В третьем случае , 
, , т. е. . В четвертом случае , , , т. е. . В итоге можно сказать, что для любых 
верно: . Следовательно, – гомоморфизм группы в группу .
Ядром гомоморфизма является множество всех четных чисел, т. е. 
.
Если при гомоморфизме 
отображение взаимооднозначно, т. е. 
, то называется изоморфизмом группы в группу . Если при этом имеется наложение множества на множество , то группы и называются изоморфными.
Задача 70. Изоморфны ли группа 
и мультипликативная группа кольца 
?
Решение. 
. 
– множество обратимых элементов из . Взаимооднозначных отображений 
на 
несколько. Из них надо выбрать то (если оно существует), которое удовлетворяет определению изоморфного отображения. Для удобства рассуждений построим таблицы Кэли для и :
|
|
|
| :
| 
| 
| 
| :
| 
|
| 
| |
|
|
|
|
|
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
Зададим такое отображение 
, при котором нейтральный эле-мент 
отобразится в нейтральный элемент 
(по свойству изоморфиз-ма), т. е. 
. Тогда остается только одна возможность для отображения 
. Итак,
.
Проверим, будет ли верно: при 
.
|
|
|
 , т. к.  по  .
|
Итак, при , т. е. – изоморфизм. Следова-тельно, группа и мультипликативная группа кольца – изоморф-ны.
Задача 71. Доказать изоморфизм групп 
и 
.
Решение. 1 способ. Отображение
взаимооднозначным отображением 
на 
. Действительно, 
влечет 
, отсюда 
. Любое целое число вида 
имеет прообраз, а именно: 
. При этом отображение , т. к. 
, 
, 
. Следовательно, – изоморфизм 
и .
Изоморфизм колец. Гомоморфизм колец
Кольца 
и 
называются изоморфными, если можно установить такое отображение 
, при котором для 
и 
.
Задача 72. Доказать, что кольцо вещественных квадратных матриц
-го порядка изоморфно кольцу линейных операторов -мерного линейного пространства 
относительно фиксированного базиса 
.
Решение. Пусть 
– кольцо квадратных матриц -го порядка с вещественными элементами, 
– кольцо линейных операторов -мерного пространства над полем 
. Возьмем произвольный линейный оператор 
и рассмотрим его матрицу относительно базиса :
 ,
| где  – координатный столбец вектора  в базисе ,
|
 – координатный столбец вектора  в базисе ,
| |
 – координатный столбец вектора  в базисе .
|
Так как координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно, то для оператора 
в базисе матрица определена однозначно.
Обратно, пусть дана произвольная матрица
.
Можно ли считать ее матрицей некоторого оператора в базисе и есть ли еще оператор 
, для которого матрицей в базисе будет та же матрица ?
|
|
|
Построим векторы 
, 
, …., 
. Существует линейный оператор такой, что 
, 
,…, 
. Это оператор 
.
. Этот оператор линейный, так как 
и 
, где 
, 
. Этот оператор имеет своей матрицей в базисе матрицу
|
|
|
