Частотные свойства шумов различной природы

Одним из эффективных методов анализа случайных величин является метод Фурье. Оноснован навведении в рассмотрение спектральных плотностей случайного процесса – S_V (f). С помощью этой величины флуктуационную эдс V (t) в узком интервале частот можно представить в виде источника синусоидальной с величиной шумового эдс . Достоинство такого подхода состоит в том, что с введением спектральной плотности для анализа шумов можно пользоваться теорией цепей переменного тока. Например, можно ввести шумовые генераторы тока и напряжения.

Важной теоремой спектрального анализа случайной величины является теорема Винера-Хинчина. Она показывает, как вычислить спектральную плотность любого случайного процесса.

Пусть является стационарным случайным процессом. Разложим в ряд Фурье в интервале времени , в пределах которого анализируется данный случайный процесс:

,

где , а и

.

Спектральная плотность случайного процесса определяется следующим образом:

,

где знаком (*) отмечена комплексно-сопряженная величина. Тогда в соответствии с теоремой Винера-Хинчина спектральная плотность может быть найдена с помощью следующего выражения:

.

При вычислениях обычно сначала находят автокорреляционную функцию, а потом определяют спектральную плотность . При измерениях поступают наоборот: сначала измеряют , а затем находят автокорреляционную функцию. Если временной сдвиг равен нулю, то можно найти:

, (9)

Данное выражение указывает способ экспериментального определения дисперсии случайной величины. Оказывается, что дисперсию можно определить путем интегрирования спектральной плотность случайного процесса .

Как можно экспериментально измерить спектральную плотность шума? Оказывается очень просто. Вспомним выражение для определения дисперсии: . Как следует из этого выражения, для вычисления дисперсии сначала надо из полного случайного процесса вычесть его среднее значение. На практике это делается установкой на входе измерителя дисперсии разделительного конденсатора – именно он выделяет из полного шумового напряжения переменное напряжение, отделяя его от постоянного - . Далее надо возвести в квадрат полученное знакопеременное шумовое напряжение. В результате этой операции оно станет однополярным пульсирующим с удвоенной частотой изменения во времени и будет содержать постоянное напряжение. Поясним это на примере синусоидального напряжения: в квадрате одно имеет вид

. (10)

Такую операцию выполняет известный в радиотехнике квадратичный детектор, представляющий собой мост Уистона, составленный из четырех диодов. Такие мостики стоят в любом выпрямителе сетевого напряжения. Итак, оказывается еще одну операцию по вычислению дисперсии можно легко реализовать известными радиотехническими средствами. Добавим, что диодный мостик еще извлекает квадратный корень и потому его результат дает амплитуду продетектированного напряжения, а не его квадрат. Осталась операция усреднения во времени, которая реализуется установкой конденсатора на выходе диодного мостика. Что получим на выходе? Усреднение правой части выражения (10) с учетом извлечения коня даст константу , которая, будучи умноженной на амплитуду входного сигнала, определит эффективную амплитуду выпрямленного напряжения, а в применении к измерению шумов определит эффективную величину дисперсии.

Что получилось в итоге? Оказалось, что корень из дисперсии случайного процесса можно измерить, если подать исследуемый шум через конденсатор на обычный квадратичный детектор, нагруженный на фильтр низких частот (ФНЧ). Такие устройства являются стандартными в любом измерителе напряжения – вольтметре. Единственное отличие, которое должно быть учтено в вольтметрах для измерения шума так это то, что исследуемые шумовые величины обычно имеют очень малую величину: до единиц нановольт. Значит, для изучения шума необходимы нановольтметры с квадратичными детекторами и ФНЧ на выходе.

Для изучения природы исследуемого шума весьма полезны частотные свойства шума: зависимость шумового напряжения (дисперсии случайного процесса) от частоты измерения. По виду этой зависимости можно определить тип доминирующего шума: тепловой и дробовой шумы имеют независящую от частоты измерений дисперсию, генерационно-рекомбинационный шум имеет спектральную зависимость в виде «полочки» (постоянное значение на низких частотах и падающий участок на высоких частотах), избыточный шум имеет падающую степенную зависимость дисперсии от частоты. Для измерения частотного состава исследуемого шумового напряжения разработаны и широко применяются так называемые селективные нановольтметры. Они представляют собой вольтметры, способные регистрировать напряжения до единиц нановольт - В и имеющие очень узкую, но перестраиваемую оператором, полосу пропускания. Последнее достигается установкой на входе нановольтметра перестраиваемого полосового фильтра. С помощью такого прибора удается проанализировать зависимость амплитуды шума, измеренной в полосе измерительного прибора равной 1 Гц, от частоты его измерения. Такая зависимость называется спектральной плотностью шума. С точки зрения физической интерпретации спектральной плотности шума (и не только шума, но и детерминированного сигнала) поведение шума во всей полосе исследованных частот можно объяснить, предположив, что он создается множеством источников синусоидального переменного напряжения. Амплитуда каждого источника, действующего на строго заданной частоте, равна спектральной плотности шума.