 |
Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми
|
|
|
|
Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются статистике Ферми – Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е,
Выражается функцией Ферми– Дирака:
fФ-Д(Е)= 
; (2.1)
Здесь F – электрохимический потенциал, или уровень Ферми. Из (2.1)
видно, что уровень Ферми можно определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.
Вид функции Ферми – Дирака схематически показан на рисунке 2.7.
При Т = 0 она имеет вид разрывной функции. Для E < F она равна 1, а значит, все квантовые состояния при E < F заполнены электронами. Для E > F функция f = 0 и соответствующие квантовые состояния совершенно не заполнены.
При Т > 0 функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT, в окрестности точки E = F быстро изменяется от 1 до 0. Размытие Функции Ферми тем больше, чем выше температура.
Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если уровень Ферми F лежит в запрещенной зоне энергий
и удален от края зоны Ес хотя бы на 2 kT (в некоторых учебниках пишут Е с – Е > kT). Тогда в распределении (2.1) единицей в знаменателе можно пренебречь и оно переходит в распределение Максвелла – Больцмана классической статистики. Это случай невырожденного полупроводника:
f(E,T) = e −(E- F)/kT . (2.2)
Концентрация электронов в зоне проводимости равна:
∞
n = 2 ∫ Nc(E) f(E,T)dE (2.3) E c
Рис. 2.7. Функция распределения плотности состояний в зоне проводимости N (E), функции Ферми – Дирака f 1 (T 1 = 0), f 2 (T 2 > 0),
f 3 (T 3> T 2) и Больцмана f
Отметим, что в качестве верхнего предела в написанном интеграле мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Но, так как функция f для энергий E > F экспоненциально быстро убывает с увеличением E, то замена верхнего предела на бесконечность не меняет значения интеграла.
|
|
|
Подставляем в (2.3) выражения (2.5) и (2.2). Получим:
n =Nс e –(Ec – F) /kT (2.4)
где: NC=2 
(2.5)
Величина Nс получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости.
В случае невырожденного полупроводника, когда уровень Ферми лежит выше потолка валентной зоны хотя бы на 2 kT, то есть F – Eс
> 2 kT (в некоторых учебниках пишут F – Eс> kT), функция Ферми – Дирака для дырок f p имеет вид:
f p = e −(F - E)/kT. (2.6) к
а концентрация дырок в валентной зоне
p =NV e –(F - EV )/kT (2.7)
где: NV=2 
(2.8)
(2.9)
EV – энергия, соответствующая потолку валентной зоны, а NV
рассчитывается по уравнению (2.5), если вместо mn *взять эффективную массу дырки m p*. Величина NV – эффективная плотность состояний в валентной зоне.
Отметим, что в (2.3) перед интегралом появился множитель 2, что связано с тем, что на каждом уровне энергии могут находиться два электрона с противоположными спинами (принцип Паули).
Для расчета n и p по уравнениям (2.4) и (2.7) необходимо знать положение уровня Ферми F.
Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от уровня Ферми, хотя зависит от температуры:
n*p=(ni)2= NC NV e - Eg /kT (2.10)
Это уравнение используется для расчета p при известном n или, наобо-
рот n при известном p. Величина ni при комнатной и температуре жидкого азота для конкретных полупроводников приводится в справочниках.
Это выражение называется ЗАКОНОМ ДЕЙСТВУЮЩИХ МАСС, т.е. концентрации электронов и дырок в любом невырожденном полупроводнике таковы, что их произведение равны квадрату собственной концентрации электронов. Это соотношение справедлшиво при любой температуре.
Концентрация электронов и дырок в собственном
|
|
|
Полупроводнике
Напомним, что полупроводник называется собственным, если в нем отсутствуют донорные и акцепторные примеси. В этом случае электроны появляются в зоне проводимости только за счет теплового заброса из валентной зоны, тогда n = p (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Зонная диаграмма собственного полупроводника, иллюстрирующая процесс генерации свободных носителей заряда
При отсутствии внешних воздействий (освещение, электрическое поле и т.д.) будем обозначать концентрации свободных электронов и дырок с индексом нуль, 
. При n 0 = p 0.получаем:
n 0 = p 0 =ni 
e - Eg /kT (2.11)
Напомним, что значком n i принято обозначать концентрацию собственных носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне. Для расчета 
используется формула (2,5;2.8). Как следует из соотношений (2.11), концентрация собственных носителей определяется в основном температурой и шириной запрещенной зоны полупроводника.
На рисунке 2.9 представлена зависимость концентрации собственных носителей от температуры для наиболее распространенных полупроводников – кремния, германия, арсенида и фосфида галлия. Видно, что при изменении ширины запрещенной зоны в диапазоне от 0,6 эВ для германия до 2,8 эВ для фосфида галлия, собственная концентрация n i при комнатной температуре изменяется от значения 10-13 см-3 до 10-3 см-3
Рис. 2.9. Зависимость концентрации собственных носителей от температуры для наиболее распространенных полупроводников – кремния, германия, арсенида и фосфида галлия [30, 82]
|
|
|
