Матричная интерпретация метода Гаусса
Рассмотрим элементарные преобразования над строками матрицы
и покажем, что каждое элементарное преобразование над строками матрицы равносильно умножению на некоторую матрицу, которую будем называть элементарной, слева.
1) Умножение
-ой строки матрицы
на число
, т.е.
. Элементарная матрица
, соответствующая этому преобразованию, имеет вид:
, тогда
.
2) Перестановка
-ой и
-ой строк матрицы
, т.е.
. Элементарная матрица
, соответствующая этому преобразованию, имеет вид:
, тогда
.
3) Прибавление к
-ой строке матрицы
-ой строки, умноженной на число
, т.е.
. Элементарная матрица
, соответствующая этому преобразованию, имеет вид:
, тогда
.
Аналогично, любое элементарное преобразование над столбцами матрицы равносильно умножению на элементарную матрицу справа.
Элементарными преобразованиями над строками невырожденной матрицы можно привести ее к единичному виду. Пусть
преобразованиями мы приводим матрицу к единичному виду. Эти преобразования можно заменить умножением на элементарные матрицы.
Если
, тогда
. Получаем еще один способ нахождения обратной матрицы. Он состоит в том, что все элементарные преобразования над строками матрицы
, проделаем и над матрицей
, в итоге этих преобразований получим
.
, так как
, тогда
, то есть
.
Таким образом, элементарными преобразованиями над строками матрицы можно проверить: является ли матрица
вырожденной или нет, и в том случае, если она невырожденная, то можно найти
. Число операций ограничено сверху
(
и
циклов)
Рассмотрим способ решения систем линейных неоднородных уравнений с помощью злементарных преобразований над строками матрицы. Пусть задана система
.
, в том случае, когда
, т.е.
– невырожденная, имеем
, и окончательно
, откуда
.
Матричные уравнения
Матричным уравнением называется уравнение вида
или
, где
– заданные матрицы. Если
– невырожденная, тогда
и
.
Матричное уравнение вида
можно решить с помощью элементарных преобразований над строками матрицы
.

Матричное уравнение вида
можно решить с помощью элементарных преобразований над столбцами матрицы
.

Теорема 14. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.
Доказательство. Пусть
. Построим блочную матрицу вида
, к первой блочной строке прибавим вторую блочную строку, умноженную на
. Это преобразование равносильно умножению блочной матрицы на некоторую матрицу слева, т.е.
. Это преобразование не меняет определителя блочной матрицы, т.е.
. Найдем определитель каждой блочной матрицы по теореме Лапласа.
=
=
=
=
, что и требовалось доказать.
Теорема 15. (Формула Бине-Коши)Пусть
, тогда
, где
.
Доказательство. Пусть
(
),
(
),
(
).
Если
или
, тогда
.
Покажем, что если
, тогда
и
.
1) Если
, то
, так как если это не так, то
, что противоречит первоначальному условию..
2) Пусть
,
. Рассмотрим матрицу
и посчитаем ее определитель двумя способами.
1 способ. Элементарными преобразованиями, которым эквивалентно умножение справа на элементарную матрицу
, приведем матрицу
к виду
. Тогда
=
=
=
=
.
2 способ. Используятеорему Лапласа, разложим определитель матрицы
по первым
строкам.
=
, где
. Замечаем, что
. Пусть
. Так как миноры, содержащие хотя бы один столбец с номером большим
равны нулю, получаем:
=
, где
.
Разложим
по первым
столбцам, тогда
. Итак, 
.
Введем обозначение
, тогда
, т.к.
=
, получаем окончательно, что
.
Утверждение будет доказано, если числа
и
одинаковой четности. Получаем, что число
является четным, значит
.
Теорема 12. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.
Доказательство. Пусть
,
.
,
=
– линейная оболочка всех столбцов
.
Получаем, что система столбцов
линейно выражается через систему столбцов
, т.е.
, значит
.
Аналогично получаем, что любая строка
является линейной комбинацией строк
, тогда
. Теорема доказана.
Матрица
называется вырожденной (особенной, singular), если
. Если
, то матрица невырожденная.
Если
, то не существует ни левой обратной, ни правой обратной матриц для
. Так как
(
), но тогда по теореме 12
, чего быть не может, значит уравнения
и
не имеют решений.
Если
, то для матрицы
существует обратная матрица.
- присоединенная к
.
– алгебраическое дополнение к элементу
матрицы
.
, где
. Получили
. Если
, тогда
– правая обратная матрица к
.
Аналогично,
, где
, значит
, тогда
– левая обратная матрица к
.
Замечание. Важным является то, что
– поле, иначе делить на ∆ было бы нельзя.
[1] Габриель Крамер (1704-1752) – швейцарский математик.
Воспользуйтесь поиском по сайту: