 |
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
|
|
|
|
Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная в данном направлении и градиент функции. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточные условия экстремума.
Задание 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Вычислить определитель двумя способами.
Вариант 1. 1.1 
Вариант 2. 1.1 
Вариант 3. 1.1 
Вариант 4. 1.1 
Вариант 5. 1.1 
Вариант 6. 1.1 
 |
Вариант 7. 1.1 
Вариант 8. 1.1 
Вариант 9. 1.1 
Вариант 10. 1.1 
1.2. Найти миноры и алгебраические дополнения определители для элементов:
Вариант 1. 2.1.1.
определителя 
1.2.2 
определителя 
Вариант 2. 2.1. 
определителя 
2.2. 
определителя 
Вариант 3. 2.1. определителя 
2.2. определителя 
Вариант 4. 2.1. 
определителя 2.2. 
определителя 
Вариант 5. 2.1. , определителя 2.2. 
определителя 
Вариант 6. , определителя 2.2 определителя 
Вариант 7. , определителя 2.2 определителя
Вариант 8. , определителя 2.2 определителя
Вариант 9. , определителя 2.2 определителя
Вариант 10. , определителя 2.2 определителя
Задание 2. Матрицы.
Вычислить 3А – 2В + АВ
В.1 
, 
В.2 
, 
В.3 
, 
В.4 
, 
В.5 
, 
В.6 
, 
В.7 
, 
В.8 
, 
В.9 
, 
В.10 
, 
Задание 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.
1. Решить систему методом Крамера и проверить методом Гаусса.
2. Решить систему с помощью обратной матрицы.
В-1 3.1 
3.2 
В-2 3.1 
3.2 
В-3 3.1 
3.2 
В-4 3.1 
3.2 
В-5 3.1 
3.2 
В-6 3.1 
3.2 
В-7 3.1 
3.2 
В-8 3.1 
3.2 
В-9 3.1 
3.2 
В-10 3.1 
3.2 
Задание 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
В 
АВС даны координаты вершин.
1.Построить чертеж. 2. Найти периметр треугольника. 3. Составить уравнения сторон треугольника.
4. Составить уравнение прямой ВN // АС. 5. Составить уравнение медианы СД.
|
|
|
6. Уравнение высоты АЕ, найти ее длину. 7. Найти углы треугольника. 8. Найти координаты центра тяжести.
| Вариант | ||||||||||
| А | (1; -1) | (0; -1) | (1; -2) | (2; -2) | (0; 1) | (3; -2) | (3; -3) | (-1; 1) | (3; -3) | (2; 2) |
| В | (4; 3) | (3; 3) | (4; 2) | (5; 2) | (3; 5) | (6; 2) | (6; 1) | (2; 5) | (6; 1) | (5; 6) |
| С | (5; 1) | (4; 1) | (5; 0) | (6; 0) | (4; -3) | (7; 0) | (7; -1) | (3; 3) | (7; -1) | (6; 4) |
Задание 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.
Даны координаты вершин пирамиды А 
А 
А 
А 
. Найти:
1) длину ребра А 
А ; 2) угол между ребрами А А и А А ;
3) площадь грани А А 
А ; 5) объем пирамиды;
4) уравнение прямой А А ; 6) уравнение плоскости А А А ;
7) угол между ребром А А и гранью А А А ;
8) уравнение высоты и ее длину, опущенной из вершины А на грань А А А ;
9) сделать чертеж.
| Вариант | А
| А
| А
| А
|
| (7; 7; 3) | (6; 5; 8) | (3; 5; 8) | (8; 4; 1) | |
| (4; 2; 5) | (0; 7; 2) | (0; 2; 7) | (1; 5; 0) | |
| (4; 4; 10) | (4; 10; 2) | (2; 8; 4) | (9; 6; 4) | |
| (8; 6; 4) | (10; 5; 5) | (5; 6; 8) | (8; 10; 7) | |
| (10; 6;6) | (-2; 8; 2) | (6; 8; 9) | (7; 10; 3) | |
| (4; 6; 5) | (6; 9; 6) | (2; 10; 10) | (7; 5; 9) | |
| (7; 2; 2) | (5; 7; 7) | (5; 3; 1) | (2; 3; 7) | |
| (3; 5; 4) | (8; 7; 4) | (5; 10; 4) | (4; 7; 8) | |
| (6; 6; 5) | (4; 9; 5) | (4; 6; 11) | (6; 9; 3) | |
| (1; 8; 2) | (5; 2; 6) | (5; 7; 4) | (4; 10; 9) |
Задание 6. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
1.Найти координаты вершины и фокусов параболы, составить уравнения оси и директрисы параболы
Вариант 1. а/ у2-6у-12х-15=0, б/ х2-4х-16у+52=0. Вариант 2. а/ х2-2х-12у+13=0, б/ у2-4у-12х+16=0.
Вариант 3. а/ у2+6у-8х+1=0, б/ х2+6х-12у+21=0 Вариант 4. а/ х2+2х-20у-79=0, б/ у2-4у+8х-12=0.
Вариант 5. а/ у2-4у-16х+52=0, б/ х2+8х-28у+44=0. Вариант 6. а/х2+8х+16у +48=0, б/ у2-4у-24х+28=0.
Вариант 7. а/ х2-6х-12у-15=0, б/ у2-4у-16х+52=0. Вариант 8. а/ у2-2у-12х+13=0, б/ х2-4х-12у+16=0.
Вариант 9. а/ у2+6х-8у+1=0, б/ х2+6у-12х+21=0. Вариант 10. а/ у2+2у-20х-79=0, б/ х2-4х+8у-12=0.
Построить кривые по данным уравнениям:
| Вар | Уравнения | Вар | Уравнения |
(х-2)  +(у-3) = 9
 , 
| (х +5) +(у -6) =169
 , 
| ||
(х+3) +(у-5) = 4
 , 
| (х -1) +(у +5) = 1
 , 
| ||
(х +1) +(у -2) = 16
 , 
| (х +1) +(у -3) = 25
 , 
| ||
(х -3) +(у +4) = 25
 , 
| (х- 3) +(у -2) = 36
 , 
| ||
(х +3) +(у +3) = 4
 , 
| (х +2) +(у +4) = 49
 , 
|
Задание 7. Предел функции.
|
|
|
7.1. Вычислить предел функции при х 
х 
:
В-1. f (x) = 
а) х = 2; б) х = -1; в) х = 
.
Вариант 2. f (x) = 
а) х = -1; б) х = 1; в) х = .
Вариант 3. f (x) = 
а) х = 2; б) х = -2; в) х = .
Вариант 4. f (x) = 
а) х = 1; б) х = 2; в) х = .
Вариант 5. f (x) = 
а) х = -2; б) х = -1; в) х = .
Вариант 6. f (x) = 
а) х = -1; б) х = 1; в) х = .
Вариант 7. f (x) = 
а) х = 2; б) х = -3; в) х = .
Вариант 8. f (x) = 
а) х = 1; б) х = 2; в) х = .
Вариант 9. f (x) = 
а) х = -2; б) х = -1; в) х = .
Вариант 10. f (x) = 
а) х = -1; б) х = 1; в) х = .
7.2. Вычислить предел функции при х х :
В-1. f(x) = 
х = 4. В-2. f(x) = 
х = -8. В-3. f(x) = 
х = 3. В-4. f(x) = 
х = 8. В-5. f(x) = 
х = -3. В-6. f(x) = 
х = 9.
В-7. f(x) = 
х = 4. В-8. f(x) = 
х = -3.
В-9. f(x) = 
х = -3. В-10. f(x) = 
х = 2.
7.3. Вычислить предел функции при х 0:
В-1. f(x) = 
В-2. f(x) = 
В-3. f(x) = 
В-4. f(x) = 
В-5. f(x) = 
В-6. f(x) = 
В-7. f(x) = 3x·ctg5x. В-8. f(x) = 4x·ctg6x В-9. f(x) = x·ctg3x. В-10. f(x) = 
7.4. Вычислить предел функции при х :
В -1. f (x) = 
В - 2. f (x) = 
В-3. f (x) = 
В - 4. f (x) = 
В -5. f (x) = 
В- 6. f (x) = 
В-7. f (x) = 
В-8. f (x) = 
В -9. f (x) = 
В - 10. f (x) = 
Задание 8. Найти производные функций:
В – 1. а)у = 
, б) у = 
, в) у = sin 3x · e 
, г) y = arctg ln 2x.
В – 2. а)у = 
, б) у = 
, в) у = ctg 4x · e 
, г) y = sin 
.
В – 3. а)у = 
, б) у = 
, в) у = cjsx · 3 
, г) y = ln 
.
В – 4. а)у = 
, б) у = 
, в) у = tg 2x ·2 
, г) y = ln sinx.
В – 5. а)у = 
, б) у = 
, в) у = arctgx ·(x 
, г) y = e 
.
В – 6. а)у = 
, б) у = 
, в) у = cos 3x · e , г) y = ln arctg2x.
В –7. а)у = 
б) у = 
, у = tg2x · 2 
, г) y = cos ln 5x.
В – 8. а)у = 
, б) у = 
, в) у = ln2x · e 
, г) y = cos 
.
В – 9. а)у = 
, б) у = 
, у = sin 4x · e 
, г) y = arcsin ln 4x.
В – 10. а)у = 
, б) у = 
, в) у = tg 3x · 2 
, г) y = sin ln 5x.
Задание 9. Применение производной.
а) Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой у = f(x) в точке, с абсциссой х0.
Б) Найти максимальную скорость, если точка движется по закону S(t).
в) Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на [а; b].
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
а) у = -х2 + 2х +3, x0 = 1 а) у = 2х2 - 3х +6, x0 = -1 а) у = 2х2 - 5х -3, x0 = 2
б) S(t) = -1/6 t3+ 2t2 + 3t + 5 б) S(t) = - t3+ 6t2 + 24t - 5 б) S(t) = -1/3 t3+ 8t2 - 8t – 5
в) f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 3 в) f(x) = 1/3x3 – x2 + 6 в) f(x) =- x3 + 3x2 + 2
на [0; 5]. на [-3; 2] на [1; 4].
Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
а) у = - 1/2х2 + 3х - 1, x0 = 2 а) у = 1/2х2 - 4х +2, x0 = -2 а) у = 3х2 - 7х + 2, x0 = 1
б) S(t) = -1/3 t3+ 3t2 + 15 б) S(t) = -1/6 t3+ 2t2 + 4t – 7 б) S(t) = -1/6 t3+ 4t2 + 5
в) f(x) = x3 –12x2 +16 в) f(x) = x3 - 3x + 5 в) f(x) = -x3 +27x + 4
на [1; 7] на [-2; 4]. на [0; 4]
Вариант 7. Вариант 8.
а) у = -1/2х2 + 3х +1/2, x0 = -1 а) у = 1/2х2 + 5х + 3, x0 = 0
б) S(t) = - t3+ 24t2 – 5 б) S(t) = -1/6 t3+ 1/2t2 + 1/2t + 1
в) f(x) = x3 + 3x + 3 в) f(x) = -1/3x3 + x2 - 1
на [-3; 2]. на [0; 3]
Вариант 9. Вариант 10.
а) у = -1/2х2 + 3х +1/2, x0 = -1 а) у = 1/2х2 + 5х + 3, x0 = 0
|
|
|
б) S(t) = - t3+ 24t2 – 5 б) S(t) = -1/6 t3+ 1/2t2 + 1/2t + 1
в) f(x) = x3 + 3x + 3 в) f(x) = -1/3x3 + x2 - 1
на [-3; 2]. на [0; 3]
Задание 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ. Исследовать данные функции методом дифференциального исчисления и построить их графики.
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
а) у = 2х 
- 3х -12х –1 а) у = - х + 6х + 9х + 1 а) у = х -3х2 – 9х +10
б) у = 
б) у = 
б) у = 
Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
а) у = -х +9х -24х +12 а) у = х + 3х -9х - 10 а) у = -х +3х + 9х-10
б) у = 
б) у = 
б) у = 
Вариант 7. Вариант 8. Вариант 9. Вариант 10.
а) у = 2х -3х -12х +5 а) у = -1/3х +х +6 а) у = х - 12х + 5 а) у = х +3х +2
б) у = 
б) у = 
б) у = 
б) у = 
Задание 11.Интеграл.
1. Найти неопределенный интеграл, проверить результат дифференцированием в заданиях а, б,в,г.
2. Вычислить неопределенный интеграл в заданиях д,е.
3. Вычислить определенный интеграл в задании ж.
Вариант 1. а) 
б) 
в) 
г) 
dx д) 
е) 
ж) 
Вариант 2. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 3. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 4. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 5. а) 
б) в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 6. а) 
б) 5/3 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 7. а) 
б)14 в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 8. а) 
б) 8 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 9. а) 
б) 11 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
Вариант 10. а) 
б) 7 в) г)
д) 
е) ж) 
Задание 12. Площадь фигуры.
С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
Вариант 1. Вариант 2.
а) х + у – 3 = 0, 2х – у + 6 = 0, у = 0. а) х + у –6 = 0, х – у +4 = 0, у = 0.
б) у = х2, у = 2х + 3. б) у = х2, у = 4х - 3.
Вариант 3. Вариант 4.
а) х - 2у + 4 = 0, х + 2у - 8 = 0, у = 0. а) х - у +3 = 0, х + у -1 = 0, у = 0.
б) у = х2, у = -2х + 3. б) у = х2, у = -4х - 3.
Вариант 5. Вариант 6.
а) 3х + 7у – 18 = 0, 3х – 2у + 9 = 0, у = 0. а) 2х + у –12 = 0, 4х – 7у +12 = 0, у = 0.
б) 3х2 –4у = 0, 2х – 4у + 1 = 0. б) 3х2 + 4у = 0, 2х – 4у- 1 = 0.
Вариант 7. Вариант 8.
а) 2х - 3у + 2 = 0, 2х + у - 10 = 0, у = 0. а) х - у +2 = 0, 3х + 4у -15 = 0, у = 0.
б) 3х2 - 4у = 0, 2х + 4у – 1 = 0. б) 3х2 – 2у = 0, 2х – 2у + 1 = 0.
Вариант 9. Вариант 10.
а) 3х + 4у – 15 = 0, 3х – 2у + 3 = 0, у = 0. а) 4х + 5у –16 = 0, 4х – 2у +16 = 0, у = 0.
б) 3х2 –2у = 0, 2х + 2у - 1 = 0. б) у = 3х2 + 1, у = 3х +7.
|
|
|
