Используемых в эконометрике

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ

О СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ,

ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ЭКОНОМЕТРИКЕ

Объектом статистического изучения в социальных науках яв­ляются сложные системы. Измерение тесноты связей между пе­ременными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механиз­ма их функционирования. При использовании отдельных урав­нений регрессии, например, для экономических расчетов в боль­шинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) мож­но изменять независимо друг от друга. Однако это предположе­ние является очень грубым: практически изменение одной пере­менной, как правило, не может происходить при абсолютной не­изменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдель­ных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических и социоло­гических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений. Напри­мер, если изучается модель спроса как соотношение цен и коли­чества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозиро­вания спроса необходима модель предложения товаров, в кото­рой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Приведем другой пример.

При оценке эффективности производства нельзя руководст­воваться только моделью рентабельности. Она должна быть до­полнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции.

В еще большей степени возрастает потребность в использова­нии системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработ­ной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макро­экономические показатели, являясь обобщающими показателя­ми состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, рас­ходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового нацио­нального дохода рассматривается как функция инвестиций.

Система уравнений в эконометрических исследованиях мо­жет быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зави­симая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

y ₁ = а ₁₁х₁ + а ₁₂ х ₂ + … + а_{1 m} х _m + е₁

y ₂ = а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +…+ а_{2 m} х _m + е₂

…………………….

y_n = а _{n 1} х₁ + а _{n 2} х₂ +…+ а _nm х _m + е _n

 

Набор факторов x_t в каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида

Y₁ = f(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅);

Y₂ = f(x₁, x₃,x₄, x₅);

Y₃ = f(x₂ ,x₃ ,x₅);

Y₄ = f(x_3, x₄, x₅).

также является системой независимых уравнений с тем лишь от­личием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравне­нии системы может быть следствием как экономической нецеле­сообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t -критерия или частного F -критерия для данного фактора).

такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качест­ве зависимых переменных выступают показатели, характеризую­щие эффективность сельскохозяйственного производства,-

продуктивность коров, себестоимость 1 ц молока, а в качестве факторов — специализация хозяйства, количество голов на 100 га пашни, затраты труда и т. п.

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его парамет­ров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член a ₀. Так как фактические значения зависимой пе­ременной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид:

Y1=a01+a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+e1

Y2=a02+a21x1+a22x2+a23x3+a24x4+e2

Y3=a03+a31x1+a32x2+a33x3+a34x4+e3

Однако если зависимая переменная у одного уравнения вы­ступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

y₁ =a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1mx_m+e₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2mx_m+e₂

y₃=b₃₁y₁+b₃₂y₂+a₃₁x₁+a₃₂x₁+…+a_3mx_m+e₃

………………………………………………………..

y_n=b_n1y₁+b_n2y₂+…+b _nm-1 y _n-1 + a_n2x₂+…+a_nmx_m+e_n.

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые пе­ременные предшествующих уравнений наряду с набором собст­венно факторов х. Примером такой системы может служить мо­дель производительности труда и фондоотдачи вида

y₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+e₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+e₂

где y_l - производительность труда;

У₂ — фондоотдача;

x₁ — фондовооруженность труда;

х₂ — энерговооруженность труда;

х₃ квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рас­сматриваться самостоятельно, и его параметры определяются ме­тодом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследо­ваниях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в ле­вую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы:

y₁= b₁₂   y₂ + b₁₃   y₃+…+ b_1n y_n +a₁₁    x₁+a₁₂ x₂ +…+ a_1m x_m + e₁

y₂= b₂₁ y₁+ b₂₃ y₃+…+ b_2n y_n+a₂₁ x₁+a₂₂ x₂ +…+ a_2m x_m + e₂

……………………………………………………………………………...

y_n= b_n1 y₁ + b_n2   y₂+…+ b _nn-1 y _n-1+ a_n1 x₁ + a_n2 x₂+…+a_nm x_m + e_n

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым под­черкивается, что в системе одни и те же переменные у одновре­менно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от пре­дыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для на­хождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может слу­жить модель динамики цены и заработной платы вида

где y ₁ — темп изменения месячной заработной платы;

У₂ — темп изменения цен;

х ₁ — процент безработных;

х₂ — темп изменения постоянного капитала;

х₃ - темп изменения цен на импорт сырья.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравне­ний структура матрицы коэффициентов при зависимых перемен­ных различна.

Представим систему эконометрических уравнений в матрич­ном виде:

BY + ГХ= Е,

где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных; Y — вектор

зависимых переменных; Г - матрица параметров при объясняющих переменных;

X — вектор объясняющих переменных; Е — вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель яв­ляется системой независимых уравнений. Так, при трех зависи­мых и трех

 

объясняющих переменных модель имеет вид:

y ₁ = a ₀₁ + a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ + E _1,

y₂=a₀₂+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+E_2,

y₃=a₀₃+a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+E_3.

Матрица параметров при зависимых переменных является диагональной:

     1 0 0

B = 0 1 0

     0 0 1

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к та­кому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид:

y₁=a₀₁+a₁₁x₁+a₁₂x₂+E₁

y₂=a₀₂+b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+E₂

y ₃ = a ₀₃ + b ₃₂ y ₂ + a ₃₁ x ₁ + a ₃₂ x ₂ + E ₂

т.е. зависимая переменная у_г первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зави­симая переменная у₂ второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении. Тогда матрица коэффициентов при зависимых переменных модели составит:

т.е. представляет собой треугольную матрицу.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треуголь­ной, то модель представляет собой систему одновременных урав­нений. Так, для модели вида

y₁=a₀₁+b₁₂y₂+a₁₁x₁+a₁₂x₂+E₁

y₂=a₀₂+b₂₁y₁+b₂₃y₃+a₂₃x₃+E₂

y₃=a₀₃+b₃₁y₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+E₃

получим матрицу коэффициентов при зависимых переменных:

которая не является ни диагональной, ни треугольной. Соответ­ственно это отражается на выборе метода оценки параметров эконометрических систем.

 

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: