Для структурной модели вида

y₁ = b₁₂   y₂+a₁₁   x₁

y₂ = b₂₁ y₁+a₂₂ x₂                       (1.1)

приведенная форма модели имеет вид:

 

 

y ₁ =б₁₁ x ₁ + б₁₂ x ₂,

y ₂ =б₂₁ x ₁ +б₂₂ x ₂            (1.2)

                                                                              

в которой у₂ из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

       Тогда система одновременных уравнений будет представлена как

y₂= ,

y₂=b₂₁  y₁+a₂₂   x_2.

 

Отсюда имеем равенство:

 

 

=b₂₁y₁+a₂₂x₂

Или

y₁ - a₁₁x₁ = b₁₂b₂₁y₁ + b₁₂a₂₂x₂

Тогда:

Y₁-b₁₂b₂₁y₁ = a₁₁x₁+b₁₂a₂₂x₂

или

Таким образом, мы представили первое уравнение структур­ной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели:

      y ₁ =б₁₁ x ₁ + b ₁₂ x _2.

Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной фор­мы модели представляют собой нелинейные соотношения коэф­фициентов структурной формы модели, т. е.

Аналогично можно показать, что коэффициенты приведен­ной формы модели второго уравнения системы (б₂₁ и б₂₂) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную y₁, из второго структурного уравнения модели как

Запишем это выражение у₁ в левой части первого уравнения структурной формы модели (1.1):

Отсюда:

что соответствует уравнению приведенной формы модели:

y₂ = б₂₁x₁ + б₂₂x₂, т.е.

 

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо в 1947г.,исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у)предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

                  с = а + by,

                   y = с+х,

где а и b — параметры линейной зависимости с от у;

х — инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в от­личие от параметров обычной линейной регрессии.

В этой модели две эндогенные переменные — сиу и одна экзо­генная переменная х. Система приведенных уравнений составит

 

                         с = А₀ + А₁х,

                   у = B ₀ + B _{1 x}

 

 

Она позволяет получить значения эндогенной переменной с через переменную х. Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (А₀, А_1, В₀, В₁, можно перейти к коэффициентам структурной модели а и b, подставив в первое уравнение приве­денной формы выражение переменной х из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели, хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через зна­чения экзогенных переменных, аналитически уступает структур­ной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвя­зи между эндогенными переменными.

ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Иден­тификация - это единственность соответствия между приведен­ной и структурной формами модели.

Рассмотрим проблему идентификации для случая с двумя эн­догенными переменными. Пусть структурная модель имеет вид:

y^₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1mx_m,

y^₂=b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2mx_m.

где y_l и у₂ — совместные зависимые переменные.

Из второго уравнения можно выразить y_l следующей фор­мулой:

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной пере­менной у₁ с одним и тем же набором экзогенных переменных, но с разными коэффициентами при них:

Наличие двух вариантов для расчета структурных коэффици­ентов в одной и той же модели связано с неполной ее идентифи­кацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из и эндогенных и т экзогенных перемен­ных, содержит n(n - 1 + т) параметров. Так, при n = 2 и т = 3 полный вид структурной модели составит:

y^₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x_3,

y^₂=b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x_3.

Как видим, модель содержит восемь структурных коэффици­ентов, что соответствует выражению n • (n — 1 + m).

Приведенная форма модели в полном виде содержит и/и пара­метров. Для нашего примера это означает наличие шести коэф­фициентов приведенной формы модели. В этом можно убедить­ся, обратившись к приведенной форме модели, которая будет иметь вид:

Действительно, она включает в себя шесть коэффициентов 5,у.

На основе шести коэффициентов приведенной формы моде­ли требуется определить восемь структурных коэффициентов рассматриваемой структурной модели, что, естественно, не мо­жет привести к единственности решения. В полном виде струк­турная модель содержит большее число параметров, чем приве­денная форма модели. Соответственно и • (и — 1 + /и) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из и/и параметров приведенной формы модели.

Для того чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некото­рые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаи­мосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части си­стемы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Так, если предположить, что в нашей модели a₁₃ = 0 и a₂₁ = 0, то структурная модель примет вид:

y^₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁+a₁₂x_2,

y^₂=b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂.

 

 

В такой модели число структурных коэффициентов не пре­вышает число коэффициентов приведенной модели, которое равно шести. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, приравниванием некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположе­ний, что их воздействие на формируемую эндогенную перемен­ную одинаково. На структурные коэффициенты могут наклады­ваться, например, ограничения вида b_ij + а _ij = 0.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;

• неидентифицируемые;

• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффици­енты определяются однозначно, единственным образом по коэф­фициентам приведенной формы модели, т. е. если число парамет­ров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты моде­ли оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Рассмотренная выше структурная мо­дель (1.4) с двумя эндогенными и тремя экзогенными (предопределенными) переменными, содержащая шесть структурных ко­эффициентов, представляет собой идентифицируемую модель.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэф­фициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в ре­зультате структурные коэффициенты не могут быть оценены че­рез коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде (1.3), содержащая п эндогенных и т предо­пределенных* переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных ко­эффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно по­лучить два или более значений одного структурного коэффици­ента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Так, если в структур­ной модели полного вида (1.3) предположить нулевые значения не только коэффициентов а₁₃ и а₂₁ (как в модели (1.4)),

 

но и  a₂₂ = 0 система уравнений станет сверхидентифицируемой:

 

 

В ней пять структурных коэффициентов не могут быть одно­значно определены из шести коэффициентов приведенной фор­мы модели. Сверхидентифицируемая модель в отличие от не­идентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему сов­местных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель счи­тается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверя­ется для каждого уравнения системы. Для того чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутству­ющих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравне­нии системы через Н,а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в дан­ное уравнение, — через D,то условие идентифицируемости моде­ли может быть записано в виде следующего счетного правила:

D + 1 = Н— уравнение идентифицируемо;

D + 1 < Н — уравнение неидентифицируемо;

  D + 1 > Н— уравнение сверхидентифицируемо.

Предположим, рассматривается следующая система одновре­менных уравнений:

 

 

Первое уравнение точно идентифицируемо, ибо в нем при­сутствуют три эндогенные переменные — у₁, у₂, у₃, т. е. Н = 3, и две экзогенные переменные — x ₁, и х₂, число отсутствующих экзоген­ных переменных равно двум — x₃ и х₄, D = 2. Тогда имеем равен­ство: D + 1 = Н, т. е. 2 + 1 = 3, что означает наличие идентифици­руемого уравнения.

Во втором уравнении системы H =2(y_l и y ₂) и D = I (x ₄). Ра­венство D + 1 = Н, т.е. 1 + 1 = 2. Уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении системы Н=3(у_1, у₂, у₃), a D = 2(x_l и х₂). Следовательно, по счетному правилу D + 1 = Н, и это уравнение идентифицируемо. Таким образом, система (5.6) в целом иденти­фицируема.

Предположим, что в рассматриваемой модели a _{2 l} = 0 и a ₃₃ ⁼ 0. Тогда система примет вид:

 

 

Первое уравнение этой системы не изменилось. Система по-прежнему содержит три эндогенные и четыре экзогенные пе­ременные, поэтому для него D = 2 при Н= 3, и оно, как и в предыдущей системе, идентифицируемо. Второе уравнение имеет H =2 u D = 2(x_l, х₄), так как 2 + 1 > 2. Данное уравнение сверхидентифицируемо. Также сверхидентифицируемым оказывается и третье уравнение системы, где Н= 3 (у₁, у₂, у₃) и D =3 (x ₁ x ₂, x ₃), т.е. счетное правило составляет неравенство: 3 + 1 > 3 или D + 1>Н. Модель в целом является сверхидентифицируемой.

Предположим, что последнее уравнение системы с тре­мя эндогенными переменными имеет вид:

т. е. в отличие от предыдущего уравнения в него включены еще две экзогенные переменные, участвующие в системе, — х₁ и х₂. В этом случае уравнение становится неидентифицируемым, ибо при Н = 3, D = 1 (отсутствует только х₃) и D + 1 < Я, 1 + 1 < 3. Итак, несмотря на то, что первое уравнение идентифицируемо, второе сверхидентифицируемо, вся модель считается неиденти­фицируемой и не имеет статистического решения.

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Урав­нение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем перемен­ным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определи­тель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем чис­ло эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие иден­тификации.

Обратимся к следующей структурной модели:

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и до­статочное условия идентификации. Для первого уравнения Н= 3 (y ₁, y ₂, y _з) и D = (x₃ и x₄ отсутствуют), т. е. D + 1 =H, необходи­мое условие идентификации выдержано, поэтому уравнение точ­но идентифицируемо. Для проверки на достаточное условие идентификации заполним следующую таблицу коэффициентов при отсутствующих в первом уравнении переменных, в которой определитель матрицы (detA) коэффициентов равен нулю.

Матрица коэффициентов (1)

 

 

Уравнение	Переменные
	х 3	x 4
2 3	a 23 0	a 24 0

Следовательно, достаточное условие идентификации не выполняется и первое уравнение нельзя считать идентифици­руемым.

Для второго уравнения Н = 2 (y_l и у₂), D = 1 (отсутствует х₁) счетное правило дает утвердительный ответ: уравнение иденти­фицируемо (D + 1 = Н).

Достаточное условие идентификации выполняется. Коэффи­циенты при отсутствующих во втором уравнении переменных со­ставят.

Матрица коэффициентов (2)

 

 

Уравнение	Переменные
	y з	x1
1 3	b13 -1	a11 a31

 

Согласно таблице detA =0, а ранг матрицы равен 2, что соот­ветствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не меньше числа эндогенных переменных в системе без одной. Итак, второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение системы содержит Н = 3 и D = 2, т. е. по не­обходимому условию идентификации оно точно идентифицируе­мо (D + 1 = Н). Противоположный вывод имеем, проверив уравнение на достаточное условие идентификации. Составим таблицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в тре­тьем уравнении, в которой  detA = 0.

Матрица коэффициентов (3)

 

 

Уравнение	Переменные
	x3	x4
1 2	0 x23	0 x24

Из таблицы видно, что достаточное условие идентификации не выполняется. Уравнение неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифицируе­мая по счетному правилу, не может считаться идентифицируемой исходя из достаточного условия идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, па­раметры которых должны быть статистически оценены, использу­ются балансовые тождества переменных, коэффициенты при ко­торых равны ±1. В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при перемен­ных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собст­венно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Например, рассмотрим эконометрическую модель экономи­ки страны:

где

у₁ - расходы на конечное потребление данного года;

А — свободный член уравнения;

       е - случайные ошибки;

У₂ — валовые инвестиции в текущем году;

x₃ —.валовой доход предыдущего года;

y ₃ — расходы на заработную плату в текущем году;

y ₄ — валовой доход за текущий год;

х₂ - государственные расходы текущего года.

В этой модели четыре эндогенные переменные у₁, у₂, у₃, у_4, причем переменная у₄ задана тождеством. Поэтому статистичес­кое решение практически необходимо только для первых трех уравнений системы, которые нужно проверить на идентифика­цию. Модель содержит две предопределенные переменные — эк­зогенную х₂ и лаговую x₁.

При практическом решении задачи на основе статистической информации за ряд лет или по совокупности регионов за один год в уравнениях для эндогенных переменных у₁ у₂, y ₃ обычно содержится свободный член A₀₁, A₀₂, A₀₃, значение которого акку­мулирует влияние неучтенных в уравнении факторов и не влияет на определение идентифицируемости модели.

Поскольку фактические данные об эндогенных переменных y ₁, y ₂, y ₃, могут отличаться от теоретических, постулируемых мо­делью, принято в модель включать случайную составляющую для каждого уравнения системы, исключив тождества. Случайные составляющие (возмущения) обозначены через е₁ е₂ и e₃. Они не влияют на решение вопроса об идентификации модели.

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравне­ние системы точно идентифицируемо, ибо Н = 3 и D = 2, и вы­полняется необходимое условие идентификации (D + 1 = Н). Кроме того, выполняется и достаточное условие идентификации, т. е. ранг матрицы равен 3, а определитель ее не равен 0: detA равен — а₃₁, что видно из следующей таблицы:

 

 

Уравнение	y2	х 1	x 2
2	-1	a 21	0
3	0	- a 31	0
4	1	0	1

Второе уравнение системы так же точно идентифицируемо: H = 2 и        D = 1 т. е. счетное правило выполнено: D + 1 = H, вы­полнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и detA = - b ₃₄

 

Уравнение	y1	y4	x 2
1	_1	b14	0
3	0	b34	0
4	1	-1	1

Третье уравнение системы также идентифицируемо: H = 2, 0=1, D + 1 = Н иdetA=O, а ранг матрицы А = 3 и detA= 1.

 

Уравнение	y1	y2	x 2
1	-1	0	0
2	0	-1	0
4	1	1	1

Идентификация уравнений достаточно сложна и не ограни­чивается только вышеизложенным. На структурные коэффици­енты модели могут накладываться и другие ограничения, напри­мер, в производственной функции сумма эластичностей может быть равна по предположению 1. Могут накладываться ограниче­ния на дисперсии и ковариации остаточных величин.

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: