IV.2. Переход к кратным (вложенным) циклам

34. (Суммы и произведения в разных сочетаниях.) Вычислить:

а) ; в) ;

б) ; г) ,

где x_ij = ln(i + cos(jy)).

35. (Сумма и минимум одновременно.) Даны интервал (a, b) и последовательность чисел x_ij = sin(ix – p /4) + cos(jx + ix), j = 1,….40; i = 1,…,20. Просуммировать числа x_ij Î (a, b) и найти среди них наименьшее.

36. (Счастливые билеты.) Трамвайный билет с шестизнач­ным номером называется "счастливым по-московски", если сумма его первых трех цифр равна сумме трех последних цифр, и "счастливым по-ленинградски", если сумма первой, третьей и пятой цифр равна сумме второй, четвертой и шестой цифр. Вы­числить, сколько имеется билетов, счастливых

а) по-московски;

б) как по-московски, так и по-ленинградски.

Указания. а) Число билетов, счастливых по-московски равно , где N_k – число решений уравне­ния x + y + z = k в целых числах 0 £ x, y, z £ 9.б) Используя 6-кратный цикл по а, в, с, d, е, f,изменяющимися не­зависимо от 0 до 9 (с шагом 1), определить, сколько раз вы­полняются соотношения a + b + c = d + e + f = a + c + e.

37. (18²+19²+...+28² = 77², или поиск числовых тождеств.) Генерировать в некотором порядке (с последующей печатью) все

а) пары (k, m) целых чисел, для которых 0 £ k £ 100; 2 £ m £ 100и (k +1)²+(k +2)²+…+(k + m)² есть полный квадрат;

б) пятерки (m, a, b, s, r) целых чисел, для которых 1 £ m, b £ 50; 2£ a, s, r £4 и b^s +(a + b) ^s+( 2 a + b) ^s +…+(ma + b) ^s есть r -ая степень целого числа.

38. (Эмпирические формулы для некоторых сумм.) Положим

Проверить эмпирические формулы:

вычисляя погрешность Е_F=|F_k – |, где F = P или Q, по­следовательно для k = 1,2,...,50.

39. (Развитие темы задачи 3, или вычисление определенных интегралов по методу последовательного удвоения шагов.) В задаче 3 приведены формулы для вычисления приближенного значе­ния I_n интеграла I. Чтобы обеспечить заданную точность вы­числений, необходимо подобрать число шагов интегрирования n так, чтобы . Использование для этих целей известных оценок остаточных членов квадратурных формул воз­можно, но не всегда удобно. Поэтому на практике поступает следующим образом: строят последовательность значений

и в качестве I берут значение для первого k, при котором , где . Здесь n – некоторое начальное число шагов интегрирования. Подчеркнем, что при переходе от к число шагов интегри­рования удваивается. Погрешность оцени­вается здесь приближенно по правилу Рунге: , где a = 1/3 для формул прямоугольников и трапеций и a = 1/16 для формулы Симпсона.

Конкретное задание: вычислить значения определенных ин­тегралов из задачи 3, используя предложенный метод. Взять n = 4 и e = 0.0001. Дополнительные варианты:

а) , (a, b) = (0, p);

б) , ;

в) , (a, b) = (–1, 1).

(Сверьте Ваши ответы с теоретическими:

a) ln| r| для | r | > 1; б) для m = 1,2,...; в) для 0 < a, b < 1.)