 |
VI . Прямая в пространстве
|
|
|
|
IV. Векторная алге бра
4.1. Найдите расстояние между точками A (0,-1,2) и
B (2,1,1). #
3
4.2. Найдите координаты середины отрезка AB, где
A (1,-2,-4), B (3,2,2).
(2,0,-1)
4.3. Найдите направляющие косинусы вектора
a ={-1,2,-2}.
1 2 3 cosj = -1/ 3, cosj = 2 / 3, cosj = -2 / 3.
4.4. Найдите углы наклона вектора a ={1,-1, 2} к
осям координат.
1 2 3 j =p / 3, j = 2p / 3, j =p / 4.
4.5. Найдите скалярное произведение векторов a и b, если
известно, что | a |= 2, | b |= 3, а скалярное произведение
(a - b, a + 2 b) =1.
15
4.6. В каком случае скалярное произведение двух векторов
отрицательно?
Если угол между ними тупой.
4.7. Может ли скалярное произведение быть больше
произведения длин векторов-сомножителей?
Нет, не может.
4.8. Найдите косинус угла между векторами a ={-1,1,1}
и b ={2,1,-1}.
- 2 / 3
4.9. Найдите проекцию вектора a ={-2,1,0} на
направление вектора b ={2,1,-2}.
–1
4.10. При каком значении a векторы a ={2,1,a} и
b ={2,-6,-2} ортогональны?
При a = -1.
4.11. При каких значениях a и b векторы a ={2,1,a}
и b ={b,-6,-2} будут коллинеарными?
При a =1/ 3, b = -12.
4.12. Выясните, является тройка a ={1,1,1},
b ={1,0,-2} и c ={0,1,-1} правой или левой.
Правой.
4.13. Найдите длину векторного произведения [ a, b ], если
| a |= 2, | b |= 3 и их скалярное произведение равно
(a, b) = 0
6
4.14. Найдите площадь параллелограмма, построенного на
векторах a ={1,1,1}и b ={1,0,-2}.
14
4.15. При каком m векторы a ={1,0,0},
b ={1,1,-2}, c ={1,m,4} будут компланарными.
При m = -2.
4.16. Найдите смешанное произведение abc векторов
a ={1,0,0}, b ={1,1,-2}, c ={0,1,-1}.
1
4.17. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на
векторах a ={-3,0,0}, b ={1,1,-2},
c ={0,2,-2}.
1
4.18. Найдите вектор, перпендикулярный векторам
a ={1,-2,0} и b ={1,3,-2}, составляющий тупой
угол с осью ординат и такой, что его длина равна 5.
#
{-4 / 3,-2 / 3,-5 / 3}
4.19. Найдите координаты вектора 1 2 M M, где
|
|
|
1 M (2,0,-1), 2 M (3,4,-5).
#
{1,4,-4}
4.20. При каком k векторы {1, k,-3} и {2,-5,4}
перпендикулярны?
При k = -2.
4.21. Вычислите векторное произведение [ a, b ], если
a ={4,3,6} и b ={2,5,-3}.
{-39,24,14}.
4.22. Даны векторы a ={3,2,1}, b ={5,-3,4} и
c ={1,6,-7}. Вычислите скалярное произведение
(a + b) c.
-33
4.23. Какой из приведенных ниже векторов ортогонален
векторам a ={1,3,4} и b ={2,-6,-5}?
{9,13,-12}.
4.24. Вычислите углы треугольника ABC с вершинами
A (-3,5,6), B (-2,7,9) и C (2,1,7).
Ð A = 90, Ð B = 60, Ð C = 30.
4.25. Упростите векторное произведение é a + b, a - b ù
ë û.
2é b, a ù
ë û
4.26. Вектор x, удовлетворяющий уравнению
x + (x, i) i = j, равен…
…{0,1,0}.
4.27. Вектор x, удовлетворяющий уравнению
x +[ x, i ] = j, равен…
… () 1
2
j + k.
4.28. Длина векторного произведения векторов
a ={0,1,2} и b ={-1,1,0} равна…
…3.
IV- а. Векторная алгебра
4-а.1. Скалярное произведение векторов равно произведению
длин векторов-сомножителей, если …
# … угол между векторами равен нулю.
4-а.2. Векторы a - b и a + b перпендикулярны тогда и
только тогда, когда …
# … длины векторов a и b равны.
4-а.3. Пусть a ={ x,2,-1} и b ={-1,3,1}. Скалярное
произведение (a, b) = -2. Тогда …
# … x = 7.
4-а.4. Даны точки A (1,2,-1) и B (-2,4,0). Тогда
координаты вектора 2 AB составляют …
# … {-6,4,2}.
4-а.5. Направляющие косинусы вектора a ={-2,3,6}
равны …
# …
1 2 3 cosj = -2 / 7, cosj = 3 / 7, cosj = 6 / 7.
4-а.6. Известно, что | a |= 2, | b |=1, а скалярное
произведение (a + 3 b, a - 2 b) =1. Тогда скалярное
произведение векторов a и b равно …
# … 3.
4-а.7. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно
нулю, если …
# … если векторы взаимно перпендикулярны.
4-а.8. Косинус угла между векторами a ={3,-2,6} и
b ={-1,-2,2} равен …
# …
13
21
.
4-а.9. Проекция вектора a ={-7,0,14} на направление
вектора b ={-2,6,3} равна …
# … 8.
4-а-.10. Пусть a ={3,2,1} и b ={-2,4,-3}. Тогда
вектор 2 a - 3 b имеет координаты …
# … {12,-8,11}.
4-а.11. Векторное произведение [ a, b ] — это …
# … вектор, перпендикулярный векторам a и b.
4-а.12. В результате упрощения векторного произведения
|
|
|
[ a + 5 b,-2 a + 3 b ] получим
# … 13[ a, b ].
4-а.13. Векторы a ={2,m,-2}, b ={1,1,m} будут
коллинеарны …
# … ни при каком m.
4-а.14. При перестановке сомножителей в векторном
произведении …
# … оно меняет знак.
4-а.15. Площадь треугольника ABC равна 3. Тогда длина
векторного произведения [ AB, CA ] равна …
# … 6.
4-а.16. Пусть | a |=12, | b |= 5, их скалярное
произведение (a, b) = -36. Тогда длина векторного
произведения [ a, b ] равна …
# … 48.
4-а.17. Векторы a ={-3,4,a} и b ={2,-3,3}
ортогональны при …
# … a = 6.
4-а.18. Смешанное произведение abc трех взаимно
перпендикулярных векторов …
# … равно произведению длин векторов-сомножителей, если
тройка b, a, c является левой.
4-а.19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах
a ={-3,0,0}, b ={1,1,-2}, c ={0,2,-2},
равен …
# … 6.
4-а.20. Даны векторы a ={3,2,1}, b ={5,-3,4} и
c ={1,6,-7}. Тогда векторное произведение
[ a + 2 b, c ] равно # … {-26,100,82}.
-а.21. Длина векторного произведения векторов
a ={-1,2,1} и b ={-3,1,0} равна …
# … 35.
4-а.22. Смешанное произведение векторов a ={3,1,1},
b ={0,-3,0} и c ={1,2,-4} равно …
# … 39.
4-а.23. Вектор x, удовлетворяющий уравнению
x +[ x, k ] = - i, равен…
# … () 1
2
- i + j.
4-а.24. Векторы {-2 k + 21, k,-3} и {2,-5,4 k }
перпендикулярны …
# … при k = -2.
4-а.25. Пусть скалярное произведение (a, b) =1, угол
между векторами a и b равен
0 60. Тогда скалярный
квадрат векторного произведения этих векторов
(т.е.
2 [ a, b ]) равен …
# …3.
V. Плоскость
5.1. Найдите, при каком значении A плоскость
Ax + 2 y -3 z = 0 будет перпендикулярна плоскости
x -3 y + 2 z - 6 = 0.
При A =12.
5.2. Найдите, при каких A и B плоскости
4 x -10 z +5 = 0 и Ax + By -5 z +1= 0
параллельны?
При A = 2, B = 0.
5.3. Найдите угол между плоскостью
2 x - y - 2 z -5 = 0 и координатной плоскостью
Oxy.
2
arccos
3
5.4. Найдите расстояние от точки M (0,0,1) до плоскости
2 x - y - 2 z -5 = 0.
7 / 3
5.5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки
1 M (0,0,1), 2 M (0,1,1), 3 M (1,1,2).
x - z +1= 0
5.6. Найдите плоскость, проходящую через точку
M (1,1,0) и прямую пересечения плоскостей
2 x - y + z = 0 и x + y + z -1= 0.
x - 2 y +1= 0
5.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
(6,0,2) параллельно плоскости
3 x + 7 y + 5 z -1= 0.
3 x + 7 y + 5 z - 28 = 0.
.
5.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
A (3,-1,2) перпендикулярно прямой BC, где
B (2,1,4) и C (-3,-1,7).
5 x + 2 y -3 z - 7 = 0.
5.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
A (2,1,4), B (1,-1,2) и C (4,-1,1).
|
|
|
2 x - 7 y + 6 z - 21= 0.
5.10. Найдите угол между плоскостями
2 x -3 y + 6 z -12 = 0 и x + 2 y + 2 z - 7 = 0.
8
arccos
21
5.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
(1,-5,2), если нормальный вектор этой плоскости
N ={3,-7,4}.
3 x - 7 y + 4 z - 46 = 0.
5.12. Плоскость Ax + By + D = 0
(A ¹ 0, B ¹ 0, D ¹ 0)…
… параллельна оси Oz.
5.13. Плоскость By + Cz + D = 0 проходит через ось
Ox, если…
… D = 0.
Эта плоскость не может проходить через ось Ox.
5.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
прямую
0,
1 0
x y z
x y z
+ - = ìí
î - + - =
параллельно вектору
{1,0,-1}.
x - y + z -1= 0.
5.15. При каких B и D прямая
2 9 0,
3 0
x y z
x By z D
- + - = ìí
î + + + =
лежит в плоскости xOy?
B = -6, D = -27.
5.16. Составьте уравнение плоскостей, делящих пополам
двугранные углы, образованные плоскостями
x - 2 y + 2 z = 0 и 2 x + y - 2 z - 4 = 0.
3 x - y - 4 = 0 и x + 3 y - 4 z - 4 = 0.
5.17. Найдите расстояние между плоскостями
x + 2 y - 2 z -8 = 0 и x + 2 y - 2 z -14 = 0.
2
5.18. Найдите объем пирамиды, образованной координатными
плоскостями и плоскостью 6 x - 4 y + 3 z -12 = 0.
4
5.19. Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей
через начало координат и точки (1,1,1) и (2,-1,2).
{1,0,-1}.
5.20. Определите, как расположены точки A (0,1,1) и
B (1,0,1) относительно плоскости
3 x - y + z - 2 = 0.
По разные стороны от плоскости, причем точка A по ту же
сторону, что и начало координат.
5.21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
середину отрезка AB перпендикулярно AB, если
A (1,4,-2), B (3,0,0).
x - 2 y + z + 3 = 0.
5.22. Установить, при каком значении A плоскость
Ax - y + z - 2 = 0 будет параллельна плоскости
4 x + 2 y + 2 z -3 = 0?
Ни при каком.
5.23. Найдите расстояние от начала координат до плоскости
3 x - 2 y + 6 z - 28 = 0.
4
5.24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
начало координат параллельно векторам {0,1,0} и
{1,1,1}.
x - z = 0.
5.25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
(1,0,0), (0,1,0) параллельно вектору {1,1,1}.
x + y - 2 z -1= 0.
5.26. При каком значении a точки A (2,3,1),
B (-1,0,2), C (1,4,-1) и D (5,-2, a)
принадлежат одной плоскости?
При a = 28 / 3.
V- а. Плоскость
5-а.1. Плоскость Ax - y + 2 z = 0 будет
перпендикулярна плоскости x + 2 y - 4 z -1= 0 при …
# … A =10.
5-а.2. Плоскости 2 x -3 z + 4 = 0 и
Ax + By - 6 z +1= 0 параллельны при …
|
|
|
# … A = 4, B = 0.
5-а.3. Расстояние от точки M (0,-1,0) до плоскости
3 x - 2 y - 6 z -1= 0 равно…
# … 1/ 7.
5-а.4. Уравнение плоскости, проходящей через точки
1 M (0,0,1), 2 M (0,1,0), 3 M (1,0,-1), имеет вид
…
# … 2 x + y + z -1= 0.
5-а.5. Уравнение плоскости, проходящей через точку
(1,2,3) параллельно плоскости x + 2 y + 3 z -1= 0,
имеет вид …
# … x + 2 y + 3 z -14 = 0.
5-а.6. Угол между плоскостями
-3 x + 2 y + 6 z -12 = 0 и 2 x - y + 2 z -1= 0
равен …
# …
4
arccos
21
.
5-а.7. Уравнение плоскости с нормальным вектором
N ={-3,7,-4}, проходящей через точку (1,1,1),
имеет вид …
# … 3 x - 7 y + 4 z = 0.
5-а.8. Плоскость Ax + By + Cz + D = 0 проходит
через ось Oy, если…
# … B = 0 и D = 0.
5-а.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую
0,
0
x y
x y z
+ = ìí
î - + =
параллельно вектору {0,1,-1}, имеет
вид …
# … 3 x + y + z = 0.
5-а.10. Расстояние между плоскостями
x - 2 y - 2 z - 7 = 0 и 2 x - 4 y - 4 z -1= 0
равно …
# …13 / 6.
5-а.11. Объем пирамиды, образованной координатными
плоскостями и плоскостью 2 x - y + 3 z - 6 = 0, равен
…
# … 6.
5-а.12. Точки A (0,-2,3) и B (1,-1,0) расположены
относительно плоскости x - 2 y + 3 z - 2 = 0 …
# … по одну сторону, противоположную стороне, где лежит
начало координат.
5-а.13. Уравнение плоскости, проходящей через начало
координат параллельно векторам {0,1,1} и {-1,1,1},
имеет вид …
# … y - z = 0.
5-а.14. Уравнение плоскости, проходящей через середину
отрезка AB, где A (0,2,-5), B (4,0,3),
перпендикулярно этому отрезку, имеет вид …
# … 2 x - y + 4 z +1= 0.
5-а.15. Уравнение плоскости, проходящей через точку
M (1,-1,2) перпендикулярно вектору N ={1,0,3},
имеет вид…
# … x + 3 z - 7 = 0.
VI. Прямая в пространстве
6.1. Какой из указанных ниже векторов является
направляющим вектором прямой
3 1
5 3 2
x - y z -
= =
- -
?
{-10,6,4}.
6.2. Запишите канонические уравнения прямой, если ее
параметрические уравнения имеют вид
1,
2,
3 2.
x
y t
z t
= ìï
í = - +
ï = - î
1 2 3
0 1 2
x - y + z -
= =
-
.
6.3. Запишите параметрические уравнения прямой
0,
2 1 0.
x y
x y z
- = ìí
î - - - =
x = t +1, y = t +1, z = t.
6.4. При каком значении l прямая
3 1
3 1
x y z
l
- -
= =
-
будет перпендикулярна прямой
,
2 1,
3 5.
x t
y t
z t
= ìï
í = +
ï = - î
При l = 3.
6.5. При каких значениях l и m прямые
3 1
3 1
x y z
l
- -
= =
-
и
5 2
4 2
x y z
m
- +
= =
параллельны?
При l = 2, m = -6.
6.6. Установите взаимное расположение прямых
1,
2,
3 2
x
y t
z t
= ìï
í = - +
ï = - î
и
2,
,
3 1.
x
y t
z t
= ìï
í =
ï = + î
Прямые скрещиваются.
6.7. При каких значениях A и n прямая
3 1
1 3
x y z
n
- -
= = и плоскость Ax + 2 y -3 z = 0
будут перпендикулярны?
При A = 2 / 3, n = -9 / 2.
6.8. Найдите угол между прямой
2,
4,
3 1
x
y t
z t
= ìï
í =
ï = + î
и плоскостью
2 x + 2 y - z - 4 = 0.
arcsin(1/ 3).
6.9. Установите взаимное расположение прямой
|
|
|
x = t, y = t, z = t -1 и плоскости
2 x - y - z -1= 0?
Прямая лежит в указанной плоскости.
6.10. Найдите расстояние от начала координат до прямой
1 2 3
0 1 2
x - y + z -
= =
-
.
6 / 5
6.11. Найдите расстояние между прямыми
0,
1 0
x y
y
- = ìí - = î
и
1 0 0
x y z
= =.
1
6.12. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей
через точку (1,-1,-2) перпендикулярно плоскости
3 x - 2 z +5 = 0.
1 1 2
3 0 2
x - y + z +
= =
-
.
6.13. В какой точке прямая, проходящая через точки
A (3,-2,7) и B (13,3,-8), пересекает координатную
плоскость xOz?
(7,0,1)
6.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
(6,0,2) перпендикулярно прямой
2 4 0,
3 2 1 0.
x y z
x y z
+ - - = ìí
î - + - =
3 x + 7 y + 5 z - 28 = 0.
6.15. Запишите канонические уравнения прямой
3 5,
2 8.
x z
y z
= - ìí
î = -
5 8
3 2 1
x + y + z
= =.
6.16. Составьте параметрические уравнения перпендикуляра,
проведенного через точку (1,2,3) к плоскости
4 x -5 y -8 z + 21= 0.
x = 4 t +1, y = -5 t + 2, z = -8 t + 3.
6.17. При каком значении p прямая
1 3 2
1 8
x y z
p
- + -
= =
-
параллельна плоскости
3 x - 4 y + 7 z -33 = 0?
При p = -5.
6.18. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей
через точку (0,1,0) параллельно прямой
1 0,
1 0.
x y z
x y z
+ - - = ìí
î + + - =
1
1 1 0
x y - z
= =
-
.
6.19. При каком D прямая
3 2 6 0,
4 0
x y z
x y z D
- + - = ìí
î + - + =
пересекает ось Oz?
При D = 3.
6.20. Составьте параметрические уравнения прямой,
проходящей через точки A (0,1,2) и B (-1,0,2).
x = t, y = t +1, z = 2.
6.21. Направляющим вектором прямой
1,
2,
3 5
x t
y
z t
= - ìï
í =
ï = - + î
является вектор…
…{-1,0,3}.
6.22. Канонические уравнения оси ординат имеют вид…
…
0 1 0
x y z
= =.
6.23. Параметрические уравнения медианы AM
треугольника ABC, где A (0,0,2), B (-1,0,2),
C (3,-6,2), имеют вид…
…
,
3,
2.
x t
y t
z
= ìï
í = -
ï = î
6.24. Канонические уравнения прямой, делящей пополам угол
между положительными направлениями осей Ox и Oy,
имеют вид…
…
1 1 0
x y z
= =.
6.25. Направляющим вектором прямой
1 0,
2 3 0
x y
y z
- + = ìí
î + - =
служит вектор…
…{2,2,-1}.
|
|
|
