 |
IX . Линейные пространства
|
|
|
|
9.1. Матрицей перехода от базиса 1 2 3 (e, e, e) к базису
1 2 3 (f, f, f), где
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
2,
2
2 3,
f e e e
f e e e
f e e e
= + + ìï
í = + +
ï = + + î
является…
…
2 1 1
1 2 2
1 1 3
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
9.2. Матрица перехода от одного базиса к другому всегда
является…
…невырожденной.
9.3. В линейном пространстве векторов, параллельных данной
плоскости, базисом являются …
… любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной
плоскости.
9.4. Все функции, определенные на всей числовой прямой и
удовлетворяющие условию f (1) = a, …
…образуют линейное пространство, если a = 0, а операции
суммы и умножения на число определены стандартным
способом.
9.5. Вектор {-1,0,1}…
… невозможно представить в виде линейной комбинации
векторов {2,1,0} и {1,0,1}.
9.6. Матрицы вида
0
0
a
a
æ ö
ç ÷
è ø
(операции сложения и
умножения на число определены стандартным образом)…
…образуют линейное пространство размерности 1.
9.7. Матрицы вида
0
0 1
a
a
æ ö
ç ÷
è - ø
(операции сложения и
умножения на число определены стандартным образом)…
…не образуют линейного пространства.
9.8. Матрицы вида
a b
c d
æ ö
ç ÷
è ø
, где числа a, b, c и d
удовлетворяют условиям a + b + c = 0,
a + b - c = 0, а операции сложения и умножения на
число определены стандартным образом, …
…образуют линейное пространство размерности 2.
9.9. Векторы {1,-3,5}, {2,2,4}, {2,-2,7}…
… являются линейно-зависимыми.
9.10. Разложение вектора x ={1,-2,5} по базису
a ={1,1,1}, b ={1,2,3}, c ={2,-1,1} имеет вид
x =a × a +b × b +g × c, где…
…a = -6.
9.11. Функции
2 1+ x + px, -1+ 2 x,
2 1+ 2 x
будут линейно зависимыми при…
… p = 3.
9.12. Функции sin x + cos x, p sin x - cos x +1,
|
|
|
cos x будут линейно-независимыми при…
…любом значении p.
9.13. Базисом линейного пространства решений однородной
системы
1 2
1 2 3
0,
2 3 5 0
x x
x x x
+ = ìí
î - + =
является…
… вектор
1
1
1
æ - ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
.
9.14. Векторы (1,0,1,2), (0,1,1,2) и (1,1,1,3)
…являются линейно-независимыми.
9.15. Проверьте, что множество функций вида
2 p (x) = ax + bx + c (квадратные трехчлены) таких,
что p (1) = 0, образует линейное пространство. Базисом в
этом пространстве является…
…
2
1 p (x) = x -1, 2 p (x) = x -1.
9.16. Базисом линейного пространства решений однородной
системы
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 0,
2 8 6 2 0
x x x x
x x x x
- + - = ìí
î - + - =
является…
… векторы
1
0
0
1
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
,
3
0
1
1
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç - ÷
ç ÷
è ø
,
4
1
0
0
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
.
9.17. Матрица линейного оператора, переводящего любой
вектор { x, y, z } в вектор { x, x + y, x + y + z },
записанная в стандартном базисе i, j, k, имеет вид…
…
1 0 0
1 1 0
1 1 1
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
.
9.18. Матрица дифференцирования многочленов не выше
второго порядка в базисе
2 2 (1+ x, x + x, x) имеет
вид…
…
1 1 0
1 1 2
1 1 2
æ ö
ç ÷
-
ç ÷
ç - - ÷ è ø
.
9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все
геометрические векторы пространства в векторы,
параллельные некоторой плоскости, является…
…вырожденной.
9.20. Известно, что линейный оператор переводит вектор
1
1
æ ö
ç ÷
è ø
в вектор
2
0
æ ö
ç ÷
è ø
, а вектор
1
0
æ ö
ç ÷
è ø
— в вектор
1
0
æ - ö
ç ÷
è ø
.
Матрица этого оператора, записанная в базисе 1
1
0
e
æ ö
= ç ÷
è ø
,
2
0
1
e
æ ö
= ç ÷
è ø
, имеет вид…
…
1 3
0 0
æ- ö
ç ÷
|
|
|
è ø
.
9.21. Матрица оператора симметрии относительно плоскости
xOz, записанная в базисе i, j, k, имеет вид…
…
1 0 0
0 1 0
0 0 1
æ ö
ç ÷
-
ç ÷
ç ÷
è ø
.
9.22. Матрица оператора ортогонального проектирования на
плоскость xOy, записанная в базисе i, j, k, имеет
вид…
…
1 0 0
0 1 0
0 0 0
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
.
9.23. Матрица некоторого оператора, записанная в базисе i,
j, имеет вид
1 0
0 1
æ- ö
ç ÷
è ø
. Этот оператор является…
…оператором симметрии относительно оси Oy.
9.24. Множество всех матриц размера 2´2, для которых
операции сложения и умножения на число определены
стандартным образом, …
…является линейным пространством размерности 4.
9.25. Линейной комбинацией векторов {-1,2,0} и
{0,1,2} является вектор…
…{-1,2,0}.
9.26. Известно, что линейный оператор переводит вектор
1
1
æ ö
ç ÷
è - ø
в вектор
1
0
æ ö
ç ÷
è ø
, а вектор
2
1
æ ö
ç ÷
è - ø
— в вектор
0
1
æ ö
ç ÷
è ø
.
Тогда вектор
3
2
æ - ö
ç ÷
è ø
переходит в вектор…
…
1
1
æ - ö
ç ÷
è - ø
.
9.27. Известно, что линейный оператор T переводит вектор
1
0
æ ö
ç ÷
è ø
в вектор
2
3
1
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç - ÷ è ø
, а вектор
0
1
æ ö
ç ÷
è ø
— в вектор
5
1
1
æ - ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
.
Тогда вектор
2
3
æ ö
ç ÷
è ø
переходит в вектор…
…
11
9
1
æ - ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
.
9.28. Размерность линейного пространства симметричных
матриц 3´3…
…равна 6.
|
|
|
