Репродуктивные и продуктивные методы

Методы обучения разделяют на две группы: одни из них ориентированы в основном на передачу учащимися готовых знаний, другие стимулируют познавательную деятельность по приобретению новых знаний. Используя методы первой группы, учитель излагает, объясняет учебный материал, привлекает различные средства наглядности и другие дидактические средства, а ученики воспринимают информацию, усваивают ее, а затем воспроизводят по требованию учителя. Такие методы называют репродуктивными. Развивающий эффект их использования в обучении недостаточно высок, так как они не вызывают активной мыслительной деятельности учащихся. Приведение методов обучения в соответствие с требованиями реформы школы означает целесообразное сочетание оправдавших себя на практике репродуктивных методов с методами, ориентированными на обучение деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, называемыми также продуктивными.

Продуктивные методы не противопоставляются репродуктивным. Речь идет о дидактически целесообразном сочетании этих методов на различных этапах обучения в зависимости от целей и содержания обучения.

В начальном обучении математике ведущую роль играют репродуктивные методы, так как у учащихся формируется база знаний и умений, на основе которой уже можно строить обучение простейшей познавательной деятельности.

Общеизвестна роль задач в обучении математике и развитии математического мышления учащихся. Уровень усвоения математических знаний и математического мышления учащихся проверяется с помощью задач. Поэтому методы обучения решению задач следует отнести к специфическим методам обучения математике.

Эмпирические методы

Наблюдение, опыт, измерения - эмпирические методы, используемые при изучении экспериментальных естественных наук, - не являются специфичными для математики. Однако в начальном обучении математике эти методы должны широко применяться в качестве эвристических. Например, изучение понятия "квадрат" учащиеся начинают с рассмотрения множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как им показывают одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множества предметов те, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размеров, окраски, материала. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по одному, возможно, еще неосознанному признаку - по форме. Такое распознавание встречается уже у дошкольников. Дальнейшая работа по формированию понятия "квадрат" состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств.

Опытным же путем учащиеся "открывают" практически все свойства арифметических операций (переместительности и сочетательности сложения, свойство распределительности умножения относительно сложения), функциональных зависимостей (прямой и обратной пропорциональности), геометрических фигур.

Сравнение и аналогия

Сравнение и аналогия - логические методы,используемые как в научных исследованиях, так в обучении. В результате сравнения выявляются сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих (различных) свойств. Например, сравнивая квадрат и прямоугольник, мы обнаруживаем общие свойства: четыре стороны, четыре вершины, четыре угла, все углы прямые, а также различия: в квадрате все стороны равны, в прямоугольнике - только противоположные (имеется в виду разносторонний прямоугольник). При сравнении равенств 3+5=5+3 и 4+6=6+4 обнаруживается очень важное их свойство, которое служит основой для дальнейшего обобщения: в каждом равенстве знаком "=" связаны две суммы, различающиеся только порядком слагаемых.

Правильный вывод можно получить, если выполняются следующие условия: а) сравниваемые понятия однородны; б) сравнение осуществляется по существенным признакам. Оба эти условия выполняются в приведенных выше сравнениях: а) квадрат и прямоугольник - однородные понятия (четырехугольники), записи 3+5=5+3 и 4+6=6+4 - равенства арифметических выражений; б) сравнение произведено по существенным признакам, служащим основой для определения квадрата и прямоугольника в первом случае, и для обобщения и открытия закона коммутативности сложения во втором. Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. Сущность вывода заключения по аналогии состоит в следующем. Если у объектов а и в имеются общие признаки р₁, р₂, …, р _n а у объекта а обнаружено, кроме того, свойство р _{n +1}, утверждают, что и в обладает свойством р _{n +1}. Правильное использование аналогии предполагает следующее: 1) число общих свойств объектов а и в должно быть как можно большим; 2) необходимо, чтобы общие признаки р₁, р₂, …, р _n были специфичными для рассматриваемых объектов и по возможности более разнородными, максимально отличающимися друг от друга; 3) свойство р _{n +1}, о котором говорится в заключении, полученном с помощью аналогии и свойства р₁, р₂, …, р _n должны быть однотипными; 4) переносимый признак р _{n +1} не должен иметь специфического характера. Например, сложение обладает свойствами переместительности и сочетательности, умножение - свойством переместительности. Это наводит на мысль, что и умножение обладает свойством сочетательности.

Как видно, рассуждение по аналогии имеет лишь правдоподобное, вероятное, но не достоверное заключение, поэтому аналогия служит эвристическим приемом для формулировки гипотез, открытия новых свойств изучаемых объектов. Она может привести и к неверным предположениям, поэтому заключение по аналогии подлежит проверке. В начальном обучении математике имеются возможности для применения аналогии. Выявление сходства и различия между реальными ситуациями позволяет описать их с помощью одних и тех же или различных математических соотношений. Например, на одной картинке изображено 5 красных цветков и 4 синих. По этой картинке можно составить такие задачи: "На сколько больше красных цветков, чем синих? ", "На сколько меньше синих цветков, чем красных?", "Сколько всего цветков?" и др.

На другой картинке изображено 7 больших птичек и 3 маленькие. Сходство условий подсказывает нам возможность распространения этого сходства и на задачи, т. е. по аналогии учащиеся составляют задачи и ко второй картинке.

Иногда говорят, что это - деятельность по образцу. В действительности же здесь имеет место рассуждение по аналогии. Не нужно опасаться ложных аналогий. Анализ ошибочных заключений представляет собой полезный прием обучения. Так ученик, зная, что

х (4+5)= 3 х 4+3 х 5, (1)

Написал по аналогии:

х (4+5)= (3 + 4)х(3 + 5).(2),

Т. е. свойство распределительности умножения относительно сложения распространил на сложение относительно умножения. Путем вычисления устанавливается, что равенство (2) неверно. Эту ошибку и необходимо использовать для того, чтобы подчеркнуть, что свойство распределительности имеет место только для умножения относительно сложения, но для сложения относительно умножения. Иными словами, чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить, но чтобы сложить число с произведением двух чисел, нельзя складывать его с каждым сомножителем и полученные суммы перемножить.