 |
Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.
|
|
|
|
4. Відповідно до вимог розширення множини раціональних чисел ми повинні ввести правила додавання, віднімання, множення і ділення дійсних чисел так, щоб вони не суперечили відповідним правилам виконання цих дій над раціональними числами. Враховуючи це зауваження, введемо означення суми, різниці, добутку та частки дійсних чисел.
Означення: сумою двох дійсних чисел одного знаку називається сума їх модулів, взята з тим самим знаком, які мають обидва доданки.
Означення: сумою двох дійсних чисел з різними знаками називається різниця між більшим і меншим модулем даних чисел, взята із знаком числа, модуль якого більший.
Означення: сума двох протилежних дійсних чисел дорівнює нулю, тобто а+(-а)=0.
Означення: сума двох дійсних чисел, одне з яких нуль, дорівнює другому доданку, тобто а+0=0+а=а.
Вправа: знайдіть суму чисел: 1) Ö3 і Ö5; 2) Ö3 і -Ö5; 3) -Ö3 і Ö5; 4) -Ö12 і -Ö17; 5) 0,121121112… і -0,343343334…
Розв’язання.
Оскільки у першому випадку обидва числа додатні, то маємо Ö3+Ö5. У другому випадку маємо числа різних знаків, а тому Ö3+(-Ö5)=-(│-Ö5│-│Ö3│)=-(Ö5-Ö3). У третьому випадку маємо -Ö3+Ö5=+(│Ö5│-│-Ö3│)=Ö5-Ö3. Для п’ятого випадку маємо: 0,121121112…+(-0,343343334…)=-(│-0,343343334…│-│0,121121112…│)=-(0,343343334…-0,121121112…)=-0,222…=-0,(2)= - 
.
Введені означення суми дійсних чисел можна поширити на випадок будь-якої скінченної кількості доданків, але як виконувати за цими означеннями дії не зовсім зрозуміло. Саме тому спочатку введемо поняття наближеного значення нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею та з надлишком, а потім відповідні правила виконання дій. Нехай маємо дійсне число α=0,232232223… Тоді значеннями цього нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею з точністю, до цілих, десятих, сотих тощо будуть такі значення 0; 0,2; 0,23; 0,232…, а з надлишком – 1; 0,3; 0,24; 0,233 … Записати це можна за допомогою наступних подвійних нерівностей:
|
|
|
0≤α≤1
0,2≤α ≤0.3
0,23≤α≤0,24
…
αn′≤α≤αn′′
…
У цих записах αn′ - це значення дійсного числа α з недостачею, а αn′′ - це значення дійсного числа α з надлишком.
Розглянемо два дійсних числа α і β з їхніми відповідними наближеннями αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′. При розгляді властивостей числових нерівностей ми довели теорему про додавання нерівностей однакового смислу. Саме тому можна стверджувати справедливість наступної нерівності: αn′+βn′≤αn+βn≤αn′′+βn′′, яка дозволяє сформулювати наступне правило додавання дійсних чисел.
Правило: сума двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з недостачею та менша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з надлишком.
Символічно маємо таку нерівність: αn′+βn′≤αn+βn≤αn′′+βn′′. Це правило можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків. Проілюструємо застосування цього правила на наступних прикладах.
Вправа: знайти суму дійсних чисел α=0,121121112… і β=1,242242224… з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих; г) тисячних.
Розв’язання.
Десятковим наближенням числа α до тисячних з недостачею буде 0,121, а з надлишком – 0,122. Для числа β будемо відповідно мати 1,242 і 1,243. Тепер можна за сформульованим правилом визначити значення суми чисел α і β з точністю до тисячних: 0,121+1,242≤α+β≤0,122+1,243. Отже, 1,363≤α+β≤1,365. Решту випадків пропонуємо студентам розглянути самостійно.
|
|
|
Виходячи із означення суми дійсних чисел легко довести справедливість такої теореми.
Теорема: сума дійсних чисел існує, єдина та підкоряється комутативному та асоціативному законам.
Символічно цю теорему можна записати так: 1) ("α,βєR)($!γєR)(α+β=γ); 2) ("α,βєR)(α+β=β+α); 3) ("α,β,γєR)((α+β)+γ=α+(β+γ)).
Означення: різницею двох дійсних чисел α і β називають таке третє дійсне число γ, яке в сумі з числом β дає число α.
Символічно це означення можна записати так: (γ=α-β)↔(β+γ=α). Легко довести справедливість такої теореми та переконатися у справедливості наступного правила.
Теорема: різниця двох дійсних чисел завжди існує та єдина.
Правило: щоб знайти різницю двох дійсних чисел потрібно до зменшуваного додати число протилежне від'ємнику.
Символічно це виглядає так α-β=α+(-β). Наприклад: Ö5-Ö3=Ö5+(-Ö3). Для практичного виконання віднімання дійсних чисел, які виражені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, використовують їхні десяткові наближення. Як відомо, нерівності протилежного смислу можна почленно віднімати, а тому з αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, помноживши другу нерівність на -1, маємо: αn′≤αn≤αn′′ і -βn′′≤-βn≤-βn′. Тепер αn′-βn′′≤αn-βn≤αn′′-βn′.
Правило: різниця двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює різниці числа α з недостачею та числа β з надлишком і менша або дорівнює різниці числа α з надлишком і числа β з недостачею.
Символічно це означення записується так: αn′-βn′′≤αn-βn≤αn′′-βn. Застосування правила покажемо на наступному прикладі.
Вправа: знайти різницю чисел Ö3 і Ö2 з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих.
Розв’язання.
Оскільки Ö3=1,7320508… і Ö2=1,4142135…, то знайдемо десяткові наближення цих чисел з точністю до сотих. Маємо 1,73≤Ö3≤1,74 і 1,41≤Ö2≤1,42. Тоді 1,73-1,42≤Ö3-Ö2≤1,74-1,41. Отже, 0,31≤Ö3-Ö2≤0,33. Випадки а) і б) пропонуємо студентам розглянути самостійно.
|
|
|
Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
Геометричний спосіб додавання сил. Рівнодійна системи збіжних сил
Додавання багатьох паралельних сил. Центр системи паралельних сил
Додавання взаємно перпендикулярних гармонічних коливань
Додавання взаємно перпендикулярних коливань
Додавання двійкових чисел із знаком
Додавання двох паралельних сил
Додавання двох паралельних сил, напрямлених в один бік. Центр паралельних сил
