Короткі історичні відомості про виникнення та розвиток геометрії. Поняття про аксіоматичний метод побудови геометрії та історію його розвитку в геометрії.

1. Що вивчає кожна математична теорія? – деяку математичну структуру, тобто деяку множину, елементи якої можуть перебувати в певних відношеннях і мати певні властивості. В чому полягає зміст теорії? – а) в означенні понять і відношень; б) в доведенні властивостей об’єктів даної теорії; в) в доведенні відношень, визначених у цій теорії. Чи можна дати означення всіх понять, що розглядаються в теорії? – ні, бо кожне означення зводить одне поняття до іншого, вже відомого. А чому не можна довести всі властивості? – бо кожне доведення полягає у виведенні нових властивостей з вже відомих.

Як же в науці розв’язують це протиріччя? – по-перше, вибирають основні неозначувані об’єкти та відношення; по-друге, формулюють деякі їхні властивості (аксіоми); по-третє, на основі неозначуваних понять і відношень та аксіом формулюють і доводять всі інші властивості. Такий метод побудови теорії прийнято називати аксіоматичним. У чому суть аксіоматичного методу побудови математичної теорії? – а) задається деяка множина М основних об’єктів теорії; б) дається перелік основних відношень і операцій, визначених у множині М; в) формулюються, приймаючись без доведень, основні властивості об’єктів, основних відношень і операцій над ними (ці твердження прийнято називати аксіомами); г) зазначаються певні елементи множини М, які мають деякі особливості, що виділяють їх серед інших елементів (наприклад, нульовий і одиничний елемент). Після цього формулюють і обов’язково доводять всі твердження теорії.

У математиці існують різні тлумачення поняття аксіома. У середині ІІІ століття до н. е., під впливом філософії Аристотеля, під аксіомою розуміли очевидні твердження, які не потребують доведення. Вчення І.Канта закріпило погляд на аксіоми, як на апріорні істини. Істотного удару на такі погляди було завдано російським математиком М.І.Лобачевским, який замінивши лише одну аксіому, зумів побудувати нову геометрію.

Що ж таке аксіома? – з одного боку, це твердження деякої теорії, що приймається при дедуктивній побудові цієї теорії без доведення. З іншого боку аксіома – це твердження, яке перевірене багатовіковим досвідом людства і яке весь час при цьому залишалося істинним. Приклади аксіоматичної побудови математичних теорій дозволяють зробити висновок про те, що для побудови теорії потрібно вибрати не одну, а систему аксіом, яка повинна задовольняти такі вимоги: 1) незалежність, сутність якої полягає в тому, що серед вибраних аксіом не повинно бути таких, одна з яких є наслідком іншої; 2) несуперечливість, яка полягає в тому, що серед аксіом системи не повинно бути таких, які б суперечили одна одній чи дозволяли вивести твердження, що суперечать одне одному; 3) повнота, сутність якої полягає в тому, що системи аксіом повинно бути достатньо для побудови теорії.

В історії математики вважається, що у своєму розвитку аксіоматичний метод пройшов три етапи. Перший етап завершується в ІІІ-ІУ столітті до н. е. першими спробами аксіоматичної побудови геометрії Евклідом. Другий етап закінчується наприкінці 19 ст., коли були науково обґрунтовані аксіоматичні побудови арифметики (Дж.Пеано) і геометрії (Д.Гілберт). На третьому етапі, який триває і понині, Д.Гілберт та його школа створили формальні системи та формалізовану аксіоматичну теорію. Спочатку аксіоматичний метод був застосований в геометрії, потім в арифметиці, теорії ймовірностей, теорії множин тощо. Застосування цього методу побудови наукових теорій знаходимо в деяких розділах фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка). Наявні спроби застосування аксіоматичного методу для побудови таких дисциплін як етика, соціологія, біологія тощо, але задовільних результатів це поки що не дало.

При аксіоматичній побудові геометрії основними, не означуваними поняттями є точка, пряма, віддаль, площина. Система аксіом включає п’ять груп аксіом (належності, віддалі, порядку, руху, паралельності). У шкільному курсі геометрії основними поняттями є точка, пряма, площина, віддаль. Система аксіом шкільного курсу геометрії містить 12 аксіом, які розбиті на 5 груп: 1) група аксіом належності, які встановлюють відношення належності точок прямій і прямих площині; 2) група аксіом віддалі, що виражають властивості віддалі; 3) група аксіом порядку, які встановлюють відношення точок на прямій і площині; 4) група аксіом руху площини, яка дає можливість робити на площині різноманітні переміщення; 5) група, що складається з однієї аксіоми, аксіома паралельності. У шкільному курсі геометрії вказані групи аксіом вводять поступово та досить часто у вигляді не доводжуваних тверджень.