 |
Эксперимент в школьной математике
|
|
|
|
Сгибнев А.И.
Экспериментальная математика
Когда я учился классе в пятом, то заметил такую закономерность: 2⋅2−1=1⋅3, 3⋅3−1=2⋅4, 4⋅4−1=5⋅3, … Было очень интересно: бери любые соседние числа – и всё получится. Потом я узнал, что есть формула a2−1=a−1a1. Но это объяснение не вызывало таких эмоций, как само открытие. Эксперимент в математике
Математика – экспериментальная наука В.И. Арнольд
Слова «эксперимент» и «математика», поставленные рядом, могут вызвать недоумение. Казалось бы, вот образец дедуктивной науки! Вспомним хотя бы «Начала» Евклида: аксиома – определение – формулировка теоремы – доказательство. Давайте разберёмся: правда ли математики думают по такой же «схеме в четыре такта», по какой обычно пишут свои работы? Этому вопросу посвящена книга Дьердя Пойа (Polya) «Математика и правдоподобные рассуждения» [1]. Автор убедительно показывает, что «в своём математическом творчестве математик так же пользуется наблюдением и обобщением, гипотезой и экспериментом, как это делает всякий естествоиспытатель» [1, стр. 6]. В настоящих научных проблемах всё не так гладко, как кажется при чтении. Если проблема слишком сложная и не поддаётся «прямым атакам», то полезно сравнить её с похожей задачей, которая уже решена, или рассмотреть несколько частных случаев и попытаться угадать стоящую за ними закономерность. Затем приходит пора строгого доказательства (или опровержения) уже установленного утверждения. При изложении результатов в статье, учебнике обычно оставляют только фазу доказательства, а фазу поиска пропускают, как «несущественную». Однако в педагогическом отношении работа от этого часто теряет, поскольку читателю не показывают, как можно было додуматься до теоремы, хотя бы и строго доказанной потом. Пойа подкрепляет свои положения выдержками из трудов крупнейшего математика XVIII века Леонарда Эйлера (Euler). Эйлер широко пользовался наблюдением, индукцией и аналогией, например, в теории чисел. Свои открытия он часто излагал эвристически, прибавляя к ним «чистосердечное изложение идей, приведших его к этим открытиям» [1, стр. 115]. Из современных сторонников взгляда на математику как экспериментальную науку следует вспомнить Владимира Арнольда, автора эпиграфа. По мнению Арнольда, в математике идёт борьба «естествоиспытателей» с «аксиомофилами», рассматривающими всю математику как последовательное выведение следствий из системы аксиом, взятых из головы, не имеющих отношения к внешнему миру. «Я расскажу об экспериментальных числовых наблюдениях, которые подсказывают новые (поразительные) законы природы, но которые далеко не сразу превращаются в теоремы. Я думаю, что в некоторых случаях доказательств придётся ждать сотню-другую лет… хотя сами открытия новых законов могут быть доступны школьникам.» [2]
|
|
|
Эксперимент в школьной математике
Вопросы важнее ответов. А.К. Звонкин
Итак, эксперимент в науке математике использовали и используют. Но значит ли это что-нибудь для школы? Какие могут быть математические эксперименты на уроках?
1. Опытный учитель, задав вопрос, делает паузу и даёт детям подумать. Это же можно делать в больших масштабах. Как правило, теоретический материал также является ответом на некоторый обобщённый вопрос: облегчает решение задач, упорядочивает примеры, создавая стройную картину… Полезно в той или иной форме задать этот вопрос и дать ученикам его осознать. Введя понятия НОК и НОД, не будем сразу давать алгоритм их нахождения, а поищем один урок перебором. Во-первых, определение лучше усвоится и отделится от алгоритма, а во-вторых, дети смогут оценить преимущества нового способа. Прежде чем формулировать основную теорему арифметики, спросим учеников: что получится, если раскладывать большое число, скажем 360, на простые множители в разном порядке? Попробуем. «Глядите-ка, получились одинаковые делители. Это не случайно. Есть такое утверждение…» Перед введением числа π померяем длины и радиусы нескольких окружностей и посчитаем отношения. Прежде чем выводить формулу для корней квадратного уравнения, порешаем уравнения выделением полного квадрата. В физматклассах. Многочлен Тейлора естественно дать как решение локальной задачи аппроксимации (сначала линейной, потом квадратичной и т.д.). А уж потом можно переходить к ряду Тейлора, который без этого непонятно кому и зачем нужен. Формулу Ньютона-Лейбница осознают как великое открытие лучше, если до неё посчитать несколько квадратур вручную (площадь под параболой, под синусоидой). Экспериментальная пауза позволяет ученику осознать вопрос как заданный ему, и последующее теоретическое разрешение воспринимается как ответ на его вопрос. При этом подходе легче понять, что теорию придумывают для облегчения жизни, а не для зубрёжки. 2. Отдельные задачи можно формулировать открыто, т.е. так, чтобы ученик, рассматривая описанную ситуацию, сам догадался до утверждения, которое нужно доказать [3, 4]. «Через центр квадрата в его плоскости проведена прямая. При каком положении прямой сумма квадратов расстояний прямой до вершин квадрата будет наибольшей?» Ученик рисует пару положений, считает и обнаруживает, что сумма для них одинакова. Возникает догадка, что сумма не зависит от положения прямой. Это рассуждение по индукции. Дальше можно спросить, для какого треугольника может выполняться это утверждение. Наверно, этот треугольник должен обладать тем же свойством, которое выделяет квадрат среди всех четырёхугольников, т.е. быть правильным. Это рассуждение по аналогии. Доказательно? Нет. Работает? Очень часто. Мне скажут: «Всё хорошо, но что это за игра в догадки? Великая роль математики в том, что она учит детей логике. А вы предлагаете их учить какому-то гаданию на кофейной гуще». Тут всё не так просто, давайте разберёмся. Есть разная логика. Есть логика рассуждения, и математика действительно учит ей. Но есть ещё логика открытия, эвристика, которая не имеет доказательной силы, но двигает творчество. Пафос Пойа в том, что эвристика полезна и на математическом материале ей можно научить не хуже, чем логике.1 Мы пренебрегаем этой возможностью, когда пропускаем в обучении фазу поиска [3, 4] и отмахиваемся от нестрогих рассуждений как якобы недостойных математика. А ведь всего-то и надо, что честно объяснить ученикам: это не доказательство, а только способ догадаться, выдвинуть гипотезу, которую потом надо проверять. Очень точно выразил это Эйлер: наблюдения «будут вести нас к новым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания… следует тщательно отличать от истины. …мы должны пользоваться таким открытием как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опровергнуть; в обоих случаях мы можем научиться кое-чему полезному» [1, стр. 21]. Эвристика и логика действуют в науке рука об руку, и именно так усваиваются лучше всего2. Дело в том, что далеко не все ученики, даже одарённые, имеют способности и вкус к строгим теоретическим выкладкам, но практически все могут наблюдать, подмечать закономерности, проверять их. Таким образом, занимаясь математическим экспериментом, каждый ученик оказывается активным участником исследования. Сможет ли ученик доказать свои гипотезы сам или услышит доказательство от учителя – всё равно он уже включён, ориентируется в материале, это его гипотезы. Заметьте, что если дать предыдущую задачу в обычной формулировке: «Доказать, что сумма квадратов расстояний до вершин квадрата одинакова для любой прямой, проходящей через его центр», - этой фазы 1 Пойа также считает, что на примере математики школьник хорошо может осознать непростой вопрос о роли эксперимента в естественных науках. 2 Да и разделить их не всегда просто. См. замечательную книгу И. Лакатос «Доказательства и опровержения». – М., Наука, 1967.
|
|
|
|
|
|
поиска не было бы. Мы выиграли бы время, но потеряли бы интерес и вовлечённость. А непосильные абстракции только оттолкнут и от математики, и от логики. Задача учителя – предлагать достойные темы, показывать методы исследования, побуждать к теоретическому обоснованию гипотез, выдержавших экспериментальные проверки. Не стоит сужать эксперимент до простой демонстрации уже открытых фактов (хотя сама по себе она тоже неплоха). С другой стороны, не стоит злоупотреблять экспериментами в области, которую ученики ещё не способны осмыслить теоретически (хотя небольшие «заделы» полезны).
|
|
|
Опыт реализации
Изложенные соображения автору удалось в большей или меньшей мере реализовать в нескольких педагогических ситуациях. К их описанию мы и переходим.
1. Математическая индукция Обычно решение задач по математической индукции сводится к отработке техники: дают готовое утверждение (формулу) Tk, нужно проверить, что 1) оно верно при k=1 и 2) из Tk следует Tk1. Как это утверждение найдено, обычно никого не интересует. На мой взгляд, это непроизводительная трата ресурсов. Можно на одном материале и отработать технику, и поучиться угадывать. В простых задачах можно просто выкинуть утверждение – пусть найдут по неполной3 индукции. В более сложных стоит указать аналогию или дать указание, или привести частный случай и попросить обобщить. Действуя таким образом, я смог составить подборку задач по теме «Мат. индукция» для математической группы 9 класса, в большинстве которых утверждение не дано. Я привожу эти задачи здесь. (Использованы материалы из книги [5], а также задачник [6].) 1. Докажите формулу для суммы первых n натуральных чисел.4 Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение про сумму первых n чётных чисел; первых n нечётных чисел. 2. Подберите коэффициенты a,b,c,d так, чтобы сумма квадратов первых n натуральных чисел равнялась an3bn2cnd (при любом n) и докажите полученную формулу. 3. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение про сумму 1⋅22⋅3...nn1. 4. Сформулируйте и решите задачу, аналогичную предыдущей, для суммы кубов первых n натуральных чисел. 5. Найдите и докажите формулу для суммы знакопеременной суммы 1−23−45...n (чётные числа с минусом, нечётные с плюсом). 6. Сформулируйте и решите задачу, аналогичную предыдущей, для знакопеременной суммы квадратов. Предложите общую гипотезу.5 7. Найдите и докажите формулу для суммы ∑ i=1 n i 2i (она имеет вид abcn 2n для некоторых чисел a,b,c). 8. Найдите и докажите формулу для суммы ∑ i=1 n i⋅2i. 9. Найдите и докажите формулу для a1a2...an2 (обобщение квадрата суммы). 10. Рассмотрим два числа a1 и a2, удовлетворяющие неравенствам 0a11, 0a21. Тогда, очевидно, 1−a11−a2=1−a1−a2a1a21−a1−a2. Обобщите это утверждение на n чисел и докажите своё обобщение.
|
|
|
3 Не воспринимать уничижительно. Называю так, чтобы отличить две вещи, обозначенные одним словом. Математическая индукция – приём доказательства последовательности утверждений. «Неполная» индукция – эвристический способ угадывать утверждения. 4 Считается, что формула уже известна (например, как сумма арифметической прогрессии). 5 Знакопеременная сумма k-х степеней выражается многочленом степени k.
11. Последовательность bn задана рекуррентно: b1=3, bn1=7an3. Докажите, что bn=0,57n−1. Найдите и докажите формулу n -го члена для последовательности cn: c1=4, cn1=3cn−2.
Живая геометрия»
Подражая В.И. Арнольду, можно сказать, что с появлением этой программы школьная геометрия стала экспериментальной наукой. Программу можно плодотворно использовать на уроках геометрии, предваряя или дополняя теоретический материал экспериментами. Обычно работа происходит в компьютерном классе, чтобы каждый ученик мог экспериментировать самостоятельно (это же самое интересное!). Теоремы переформулируются в виде открытых задач [3]. Факты, открытые экспериментально на одном уроке, можно строго доказать на следующем. 1. Через данную точку внутри окружности проходит хорда. Найдите положение хорды, при котором произведение её отрезков минимально. Сформулируйте и исследуйте аналогичную задачу для точки вне окружности. 2. Выясните, в каких пределах меняется величина AB⋅CDBC⋅AD AC⋅BD для произвольного четырёхугольника ABCD. Для какого вида четырёхугольников достигаются граничные значения? [Зафиксируйте три вершины и двигайте четвёртую.] (Теорема Птолемея.) 3. Инверсия: что будет образом прямой, что будет образом окружности? Для красивых, но сложных теорем, не имеющих дальнейшего развития в курсе, можно ограничиться экспериментальным открытием с последующей формулировкой. 1. Через вершины треугольника проведены лучи, делящие каждый его угол на три равные части. Исследовать взаимное расположение точек пересечения этих лучей. (Теорема Морлея.) 2. Дан треугольник с углами 360 ° / 7 и 180 ° / 7. Исследовать взаимное расположение середин сторон и оснований высот. (Находятся в шести вершинах правильного семиугольника!) 3. Построение циклоид (астроиды, кардиоиды и других) – как ГМТ и как огибающих. Если сложно сделать открытую задачу, можно всем классом попытаться сформулировать теорему по готовому динамическому чертежу (теорема о точке пересечения биссектрис, медиан и др., из более сложных – теоремы Паскаля, Понселе). Беспроигрышный вариант – использовать «Живую геометрию» в задачах на построение.
|
|
|
