Курс «Экспериментальная геометрия».

Курс почти целиком посвящён фазе поиска в решении открытых задач. Автор проводил его в летней школе интенсивного обучения «Интеллектуал» для учеников, окончивших 7 и 8 класс (большинство из провинции). Дети были разбиты на 4 группы по силам. В течение двух недель с каждой группой было проведено 5 полуторачасовых занятий. Вариант (1) давался двум более слабым группам, вариант (2) – двум более сильным. Занятие проводились в компьютерном классе в «Живой геометрии». Примерная схема занятия такова. Вначале мы вспоминали 2-3 задачи с предыдущего занятия, проговаривая ещё раз основные идеи (5-7 минут). Затем я разбирал характерную задачу из нового раздела (она помечена нулём), выполняя в «Живой геометрии» построения, которые проецировались на экран для всего класса (10-20 мин). После этого дети включали компьютеры, получали распечатки задания на урок (см. ниже) и решали. Я консультировал в индивидуальном порядке, проверял решения, подсказывал, задавал дополнительные вопросы (см. комментарии к заданиям). В конце занятия в течение 3-5 мин все вместе обсуждали некоторые из решённых задач (чтобы оторвать детей от экспериментирования, приходилось давать команду погасить экраны).

Задания к курсу «Экспериментальная геометрия»

Рекомендуется следующая последовательность действий: Выполнить построение Изучить результат

6 Geometry Sketchpad; программу можно скачать на сайте разработчиков www.keypress.com/sketchpad.

Выдвинуть гипотезу Проверить её для других случаев Попытаться доказать теоретически (взяв ручку и бумагу!)

Помните, что любая гипотеза, полученная в ходе эксперимента и выдержавшая его, бросает нам вызов: доказать. Пока гипотеза не доказана (или не опровергнута), вопрос нельзя считать закрытым!

Задачи на построение 1. Постройте середину данного отрезка двумя способами – с помощью циркуля и линейки и с помощью функции «Живой геометрии». (1) 2. Постройте биссектрису данного угла теми же двумя способами. (1) 3. Постройте треугольник по трём сторонам. (1) 4. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам. (1, 2) 5. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. (1, 2) 6. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. (2) 7. Постройте треугольник а) по трём сторонам; б) по трём медианам; в*) по трём высотам; г**) по трём биссектрисам. (2) 8. Постройте треугольник а) по основаниям медиан; б*) по основаниям высот; в**) по основаниям биссектрис. (2) 9. * Восстановите квадрат по четырём точкам, лежащим на его сторонах. (2)

Задачи на минимум и максимум 0. Дан четырёхугольник. Найдите точку, для которой сумма расстояний до вершин четырёхугольника минимальна. А если он невыпуклый? 1. Задача Евклида. Параллелограмм называется вписанным в треугольник, если три вершины параллелограмма лежат на сторонах треугольника, а четвёртая совпадает с вершиной треугольника. Впишите в данный треугольник параллелограмм, так чтобы его площадь была наибольшая. [Зафиксируйте один из углов параллелограмма и исследуйте зависимость его площади от положения одной из вершин, лежащих на стороне этого угла.] Сформулируйте закономерность. (1) 2. Найдите в треугольнике точку, для которой сумма расстояний до сторон треугольника а) минимальна, б) максимальна. *Обобщите на многоугольник. (1) 3. Дан квадрат. Через его центр проведена прямая (в его плоскости). Найти положение прямой, при котором сумма квадратов расстояний прямой до вершин квадрата а) максимальна, б) минимальна (1, 2). Тот же вопрос для произвольной прямой в плоскости квадрата. (2) 4. Дан треугольник. Найдите точку, для которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна. Проверьте, для всех ли треугольников точка минимума суммы расстояний обладает свойством равенства углов? [Рассмотрите треугольник с очень большим углом.7] (2) 5. Рассмотрите отношение площади треугольника к квадрату его периметра (S/P2). Для какого треугольника достигается максимум? Достигается ли минимум? Решите задачу для четырёхугольника; обобщите свои результаты на многоугольники. (2) 6. Найдите точку, для которой сумма квадратов расстояний а) до двух данных точек, б) до трёх данных точек – наименьшая. *Обобщите гипотезу на n точек. (2) 7. Впишите в данный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра (так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника). [Начните с простых частных случаев.] (2)

Геометрические места точек Чем точнее опознаете линию, тем лучше. Например, сказать «окружность» лучше, чем «кривая», а понять какой радиус и где центр окружности – совсем хорошо.

7 В задаче о минимуме суммы расстояний до вершин треугольника замечательно то, что для угла больше 120 ° работает другое решение, которого никто не замечает. Это хороший пример того, как легко ошибиться, полагаясь только на эксперимент. В аналогичной задаче про четырёхугольник также различаются решения для выпуклого и невыпуклого. Кстати, задача про минимум в невыпуклом четырёхугольнике решается не так-то просто. В замечательной книге Д.О. Шклярского, Н.Н. Ченцова, И.М. Яглома «Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум» неверно не только доказательство, но и ответ. Они утверждают, что минимум будет на пересечении прямых, содержащих диагонали (т.е. та же точка, что и для выпуклого), тогда как «Живая геометрия» даёт вершину «входящего» угла. Этот результат смогли доказать ученики 8 класса школы «Интеллектуал» Илья Львов и Артём Зайцев.

0. В данный угол впишите квадрат, так чтобы две его вершины лежали на одной стороне угла и одна – на другой. Найдите множество четвёртых вершин квадрата. 1. В данный треугольник АВС вписывают всевозможные прямоугольники, у которых одна сторона лежит на прямой АВ. Найдите множество центров этих прямоугольников. (1) 2. На плоскости даны окружность и точка А на ней. Найдите множество середин отрезка AN, где N – произвольная точка данной окружности. Рассмотрите также случаи, когда точка N лежит внутри окружности и вне окружности. (1, 2) 3. Рассмотрим всевозможные треугольники ABC, у которых A и B – фиксированные точки окружности, а C – переменная точка окружности. Найдите множество: а) точек пересечения медиан; б) точек пересечения высот; в) точек пересечения биссектрис. (1, 2) 4. а) Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы? [Математическая формулировка: Дан прямой угол. Найдите множество середин всевозможных отрезков данной длины d, концы которых лежат на сторонах данного угла.] б) По какой линии будет двигаться котёнок, если он сидит не на середине лестницы? (2) 5. У данной окружности хорда АВ закреплена, а хорда CD перемещается, не меняя своей длины. По какой линии движется точка пересечения прямых а) AD и BC, б) AC и BD? (2)

Зачёт (1) 1. Найдите в четырёхугольнике точку, для которой сумма расстояний до вершин – наименьшая. Докажите. 2. На биссектрисе угла взята точка P. Прямая, проходящая через точку P, отсекает на сторонах угла отрезки с длинами a и b. Найдите положение прямой, при которых величина 1 a 1 b имеет 1) наименьшее, 2) наибольшее значение. То же для величины  1 a2 1 b2 . 3. Даны две точки A и B. Найдите множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки A на всевозможные прямые, проходящие через точку В. Попробуйте доказать.

Зачёт (2) 1. Найдите на плоскости точку, для которой сумма расстояний до 4 данных точек минимальна. Докажите. 2. Концы отрезка данной длины скользят по сторонам прямого угла. Найдите траекторию середины отрезка. Докажите.8 3. Откройте в Живой геометрии файл «Эллипс».9 Скопируйте его в свой зачётный файл. С его помощью ответьте на следующие вопросы: 1) Можно ли получить из эллипса окружность? Отрезок? 2) Представьте себе, что эллипс – зеркальный. Как пойдёт после отражения луч, вышедший из фокуса? 3) Найдите множество оснований перпендикуляров, проведённых из фокуса эллипса ко всем касательным к эллипсу. 4) Найдите положение касательной, для которой произведение расстояний до обоих фокусов 1) наибольшее, 2) наименьшее. 5) Найдите множество точек, симметричных фокусу эллипса относительно всех касательных к нему.

Комментарии к заданиям. Значительная часть задач на построение взята из брошюры [7], а задач на ГМТ – из книги [8]. Разумеется, формулировки изменялись нужным мне образом; при этом использовались приёмы, изложенные в статье [3]. Я исходил из того, что технические навыки лучше приобретать в процессе осмысленной деятельности. Разбирая «нулевую» задачу, я называл используемые функции (в задачах на минимум и максимум это измерение отрезков, площадей и углов, в задачах на ГМТ функция «оставлять след», «стирать след» и т.д.), а детям тут же приходилось

8 Задачи про минимум в четырёхугольнике и про котёнка имеют простые и наглядные доказательства, которые мы не упустили разобрать. На зачёте нужно было лишь воспроизвести их, но многие не смогли этого сделать; видимо, помешала установка на экспериментальность. Может быть, стоит оградить учеников от соблазна бездумного экспериментирования не только призывами, но и организационно: скажем, ученик должен доказать половину сформулированных им гипотез, иначе результат не засчитывается (или треть, или две трети – доля зависит от сложности темы и уровня ученика). 9 Решение по готовому чертежу – полезный приём, когда создание заготовки требует большой технической или теоретической подготовки. С помощью функции «Живой след» я построил эллипс; можно было двигать фокусы и менять касательную. См. на сайте разработчиков www.keypress.com/sketchpad интересные заготовки (впрочем, довольно бессистемные).

применять их для решения содержательных задач. Таким образом, работать с программой учились по ходу дела, достаточно быстро. Задачи можно было решать в любом порядке. Как правило, сильные дети успевали решить почти всё, слабые – примерно половину. Полезно обсудить с ребёнком, решившим задачу, границы применимости, количество решений и т.д. Так, в задаче о построении треугольника по трём сторонам я спрашивал, при каком соотношении длин отрезков он исчезает и почему; в задаче о построении окружности через две точки – сколько бывает решений в зависимости от расположения точек. Давал время подумать; по «живому чертежу» соображали очень хорошо. За все 5 занятий ставилась одна оценка – за зачётное задание. Зачёт выполнялся на компьютере, как и все задания. Задачи записывались в один файл, который сохранялся в условленном месте под фамилией решающего. Оценивались работающие построения и гипотезы, сформулированные словами. Важна была конкретность гипотез, например, утверждение «это окружность» оценивалось в 1 балл, а утверждение «это окружность с центром в одном из фокусов и радиусом, равным сумме расстояний» – в 3 балла. Если ученик забывал в задаче о четырёхугольнике рассмотреть невыпуклый, то получал меньший балл. Специально я об этом на зачёте не напоминал. Самый хороший результат – 15 баллов из 15, самый плохой – 4 балла. (Я посчитал, что этого хватает на зачёт. Всё-таки человек научился в «Живой геометрии» строить, измерять...) Чтобы выдвинуть адекватную гипотезу, детям постоянно приходилось ставить и решать вспомогательные задачи типа Даны окружность и две точки на ней. Определить с их помощью ещё две точки. Простейшее симметричное решение – пересечение серединного перпендикуляра с окружностью – и даёт ответ. Другие вспомогательные задачи: Через какие исходные данные можно выразить радиус полученной окружности, положение её центра и т.д. Лучшие решения в течение курса я собирал, а потом вместе с программой «Живая геометрия» записал их на диск, который вручался каждому школьнику вместе с дипломом.

4. Вычислительная математика

Школьный предмет математика призван дать понятие о науке с тем же названием. Между тем, многие важные тенденции науки математики даже близко не представлены в школьном курсе. Например, практически игнорируется вычислительная математика, которая имеет прямое отношение к нашей теме. «…вся область собственно вычислительной математики состоит как бы из двух подобластей: малой подобласти, где рассматриваются сравнительно простые задачи и где результаты рассмотрения можно представить в виде серии теорем, и громадной подобласти, связанной с решением практических задач, где никаких теорем нет. Здесь успехи в решении задач связаны с проведением численных экспериментов. Придумаем модель. Посчитаем. Получилось – хорошо, не получилось – подумаем в чём дело, пересмотрим исходную модель и т.д. Такова стандартная схема работы современного вычислителя.» [9, c. 7]. Простые задачи, идеи и методы вычислительной математики вполне могут стать достоянием физматклассов. Но, разумеется, не только и не столько в виде «серии теорем», сколько в виде вычислительного практикума. Цели такого практикума: 1) Показать, что далеко не все задачи решаются аналитически. Из теперешней школьной математики это никак не увидишь. 2) Научить приближённым вычислениям. Грамотно считать, округлять, брать нужное число знаков почти никто не умеет. 3) Заполнить пустоту между школьной информатикой и школьной математикой. Одни учат Word, другие решают внутренние программистские задачи. Наиболее естественно приурочить практикум к началам анализа в 10-11 классах.

Темы практикума по вычислительной математике Изучать итерационные процессы, сходимость, точки покоя, их устойчивость, зоны притяжения; исследовать сходимость рядов и находить суммы рядов с заданной точностью; находить асимптотически коэффициенты степенного представления функций sinx,1x, ln1x, ex, 1 1x (пропедевтика многочлена Тейлора); применять многочлен Тейлора для приближённых вычислений; строить графики многочленов Тейлора небольших степеней для многочленов и для функций sinx, tanx, 1 1x2 и других, определять область сходимости;

строить простейшие графики функций двух переменных, находить линии уровня, изучать их перестройку с изменением «высоты»; строить интерполяционные многочлены для тестовых функций (например y=sinx, x∈[0,π]) на равномерной и неравномерной сетке, сравнивать погрешности; строить интерполяционные многочлены и их графики по экспериментальным точкам; сравнивать точность различных квадратурных формул (прямоугольников, трапеций, Симпсона) для тестовых функций (y=xm, а также негладких); находить квадратуры (например, площадь сегмента эллипсов) по различным квадратурным формулам; вычислять с заданной точностью интегралы, не берущиеся аналитически; находить длины дуг кривых (например, эллипсов, парабол); решать уравнения типа sinx=0,5x, tanx=x и алгебраические уравнения высоких степеней (методом итераций, методом касательных Ньютона); составить таблицу синусов с шагом в 1° с помощью интерполяционного многочлена; вычислять π с большим числом десятичных знаков из разных представлений этого числа в виде предела периметров вписанных многоугольников, суммы ряда, бесконечного произведения, цепной дроби, статистики «бросания иголки» и т.д; аналогично число e; решать численно дифференциальные уравнения методом Эйлера, применением разностных схем.

Темы исследовательских задач по математике, примыкающих к курсу анализа и вычислительному практикуму

1. Решение сложных уравнений методом итераций. «Зоны притяжения» начальных приближений. 2. Исследование устойчивости интерполяционного многочлена к погрешностям значений функции в узлах в зависимости от расположения узлов. 3. Приближение периодических функций тригонометрическими суммами. Приближение разрывных функций. 4. Расчёт движения ракеты с Земли на Луну. 5. Расчёт падения камня в атмосфере. 6. Экстраполяция как способ прогнозирования (расход топлива на корабле, денег на телефоне, время прибытия и т.д.). Продолжение следует

Описанный опыт в целом оказался удачным. Это укрепило мою уверенность в теоретических соображениях, лежащих в его основе. Именно, традиционная евклидовская манера преподавания математики по схеме «аксиома – определение – теорема – доказательство» не является единственной адекватной математическому мышлению. Между тем, для многих учеников такая форма изложения усложняет восприятие материала. Положение можно улучшить, если «смягчить» дедуктивную манеру: предварять теоретические построения фазой эксперимента, поиска, «работы руками», которая включит ученика в материал, поможет осознать проблему и, как следствие, по достоинству оценить эти построения. Такая последовательность не только психологически облегчает восприятие материала, но во многих случаях отвечает историческому развитию науки. Не говоря уже о том, что фаза эксперимента даёт редкую возможность развить исследовательские умения [3, 4]. Задания, подобные предложенным выше, естественным образом возникают во многих темах. Например, полезна экспериментальная пропедевтика темы «Пределы» (см. тема «Угадай предел», с. 43, 44 в книге [3]). Ждёт достойного воплощения в физматклассах практикум по вычислительной математике. Далеко не исчерпаны и возможности экспериментальной геометрии. Призываю к сотрудничеству всех, кому интересна экспериментальная математика. Мой электронный адрес sgibnev @ mccme. ru. Буду признателен за соображения, задачи.

Литература

[1] Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Изд-во Иностр. Лит. – 1957. (G. Polya. Mathematics and plausible reasoning. Princeton, New Jersey, 1954.) [2] Арнольд В.И. Динамика, статика и проективная геометрия полей Галуа. – М.: Изд-во МЦНМО. – 2005. [3] Сгибнев А.И. Как задавать вопросы? Приложение «Математика» к газете «1 сентября», N 12, 2007.

[4] Сгибнев А.И. Исследуем на уроке и на проекте. / В сборнике «Учим математике» (материалы открытой школы-семинара учителей математики). Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б. Писаренко, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2006. С. 59-71. [5] Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы (выпуск 2004 года, класс «Д») / Под ред. В. Доценко. – М.: МЦНМО, 2004. [6] Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. М.: Просвещение. – 1992. [7] Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. – М.: МЦНМО. – 2003. [8] Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – М.: МЦНМО. – 2004. [9] Шноль Э.Э. Семь лекций по вычислительной математике. – Пущино, 1992.