Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу! Архитектура Биология География Искусство История Информатика Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Охрана труда Политика Правоотношение Разное Социология Строительство Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Западный государственный заочный Технический университет Институт управления производственными и Инновационными программами Кафедра информатики Контрольная работа по дисциплине  «Математика. Часть 2.» Тема:    “ Численные методы и расчеты в EXCEL.” Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами. Анализ и прогнозирование в EXCEL. Задача 2. Решение систем уравнений в EXCEL. Задача 3. Комплексные числа. Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна ИУПиИП Курс: II Специальность: 80502.65 Шифр: 578030493 Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна Подпись преподавателя: Санкт-Петербург 2007 Тема. Численные методы и расчеты в EXCEL. Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами. Анализ и прогнозирование в EXCEL. I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона. II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках x1  ; x2  ; x3; x4  : 1)   при помощи полинома Ньютона для реализации ее в EXCEL; 2) при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений   (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ). Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами:   x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 0.860 0.819 0.779 0.741 0.705 0.670 0.638 0.606 0.577 0.549 Значения

x1   = 0.149

x2  = 0.240

x3  = 0.430

x4 = 0.560

Основные понятия.

Цель работы:   научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL.

Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых

точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов).

По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation”, что в переводе значит “ изменение, переделка”.                                                    

Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x₀, x_n). Происходит от “экстра…”  и латинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”.

Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или

функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит  от латинского “approximo”, что значит “приближаюсь”.

Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функцииF (x) используются многочленыP_n (x).  Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен P_n (x), обеспечивающий требуемую интерполяциюе.

Наиболее успешно для интерполяции используется  полином Ньютона, для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящимиузлами используются конечные разности.

Термин  “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен”  и происходит от “поли…” —  часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”, т.е. имя.

Конечной разностью первого порядка называется разность:                                          

Дy_i = yi + 1 - y_i, i = 0,1,...., n – 1

Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких   порядков.

Интерполяционный полином Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:

P_n (x) = y₀ + (x-x₀) · Дy₀ /1!h + (x-x₀)(x-x₁) · ДІy₀ /2!hІ+....+ (x - x ₀)(x - x ₁)…..(x - x_{n -1}) · Д ⁿ y ₀ / n! hⁿ

Решение.

Выполнение задания I.

Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, что значения x  являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей  (в данном случае их девять).

P_n(x) = P₉(x)= y₀  + (x-x₀) Дy₀ / 1!h + (x-x₀) (x-x₁) ДІy₀ /2!h²+..

..+ (x-x₀) (x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄) (x-x₅) (x-x₆) (x-x₇) (x-x₈) (x-x₉) Д ⁹ y₀ / 9! h⁹ =

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1!  · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20)  · 0,001 / 2! · 0,05 ² +

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25)  · 0,001 / 3! · 0,05 ³ +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)  · (-0,001) / 4! · 0,05 ⁴ +            

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 ⁵ +         

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 ⁶ +                                                                                

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05 +                                                                                              

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 ⁸ +                                                                      

(x - 0,15) (x - 0,20) (x - 0,25) (x - 0,30) (x - 0,35) (x - 0,40) (x - 0,45) (x - 0,50) (x - 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 ⁹.

Выполнение задания II.

Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.

Шаг первый:

Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL:

а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1: N4).

б) Введем номера по порядку в ячейки A5: A14.

в) Введем исходные данные в ячейки B5: C14.

Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.

Шаг второй:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка:

а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy_{0 =} y₁ – y₀, которая  примет вид: =C6–C5;

a.2) копируем эту формулу в ячейки D6: D13. В результате в ячейке D6

получаем формулу =C7-C6 (т.е. Дy₁ =y₂ - y₁ = 0,779 – 0,819 = -0,040),в ячейке D7

получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy₂ = y₃ – y₂ = 0,741 – 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где

получаем формулу

=C14-C13 (т.е. Дy₈  = y₉ – y₈ = 0,549 – 0,577= -0,028)

б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка:

б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула

=D6-D5 (т.е. ДІy₀ = Дy₁ - Дy₀ = -0,040 - (-0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6: E12.

В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy₇ = Дy₈ - Дy₇= - 0,028 - (-0,029) = 0,001).

в) Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого порядка:

для вычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все                 

остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.

Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.

Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”.

Шаг третий:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:

а.1) для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x₀/1!h) в ячейку M5 введем формулу   

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. В ячейке N2 находится текущее значение x. При копировании адрес этой  ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).

а.2) для вычисления второго промежуточного коэффициента

(x-x₀) (x- x₁)/2!h І = (x-x₀)/1·h · (x-x₁)/ 2·h = a · b,

где     a коэффициент в ячейке M5, a = (x-x₀)/1h,

b коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x₁) / 2h,

вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2.

а.3) после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов    

копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:  

=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2,  в ячейке M8 мыувидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2 и 

т.д.

Шаг четвертый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:

а.1) для вычисления первого полинома Ньютона, который равен (x-x₀) · Дy₀ / 1!h = (x-x₀) / 1h ·Дy₀, содержимое ячейки M5  надо   умножить на  содержимое  ячейки   D5,  где   хранятся   конечные  разности первого порядка. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5. Знак $ перед номером строки необходим,  т.к.  в полиноме   Ньютона находятся только конечные разности с  индексом  ноль,  т.е.  все конечные разности берутся только из строки с номером 5;

а.2)  для ввода остальных членов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5, в N7 формулу =M7*F$5, в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. до ячейки N13.

Шаг пятый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:

а.1) объединим ячейки A16: M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий

"Сумма коэффициентов полинома”;

а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13). Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома  Ньютона, кроме y₀. При x   = 0,149 в ячейке N16 получается число 0,001.

Шаг шестой:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления значения полинома:

а.1) объединим ячейки A18: M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий     "Значение  полинома";

а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5.   В  ячейке N18  появится  число   0,861, которое  и  есть  значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149

Шаг седьмой:

Вычисление сумм коэффициентов полинома и значений полинома

при  x = 0,240; x = 0,430; x = 0,560.

а) в ячейку N2 вводим 0,240. Результат:

в ячейке N16 — (-0,073);      в ячейке N18 — (0.787);

б) в ячейку N2 вводим 0,430. Результат:

в ячейке N16 — (-0,209);      в ячейке N18 — (0,651);

в) в ячейку N2 вводим 0.560. Результат:

в ячейке N16 — (-0,287);      в ячейке N18 — (0,573).

Шаг восьмой:

Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.

Таблицы прилагаются.  Режим формул — “Приложение 1”.  Режим значений — “Приложение 2.