Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.

Минором некоторого элемента а_ij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij  определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“, если эта сумма нечетная.

Итерация —  это повторное применение каких-либо математических операций.  Происходит от латинского “iteratio”,что в переводе значит “повторение”.

Решение.

1). Математический расчет решения системы уравнений методом обратной матрицы.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

а). Рассмотрим матрицы:

— матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных):

         0,1  4,6  7,8

А = 2,8  6,1  2,8

         4,5  5,7  1,2

— матрица неизвестных:

         x₁

X =    x₂

        x₃

— матрица свободных членов:

                9,8

 B = 6,7

             5,8

б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А.

По определению: det A = a₁₁ · A₁₁ + a₁₂ · A₁₂  + a_{13 ·}  A₁₃,

где              a₁₁, a₁₂, a₁₃ — элементы первой строки матрицы A,

                   A₁₁, A₁₂, A₁₃ — их алгебраические дополнения.

- если detA = 0,    то обратной матрицы не существует;

 - если detA ≠ 0,  то обратная матрица существует.

Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.

По определению : A_ik = (-1)^i+k · M_ik ,

где            i   - номер строки матрицы,

                  k - номер столбца матрицы,

                 M - минор.

- если сумма i+k четная, то A_ik = 1 · M_ik

A₁₁ = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A₁₂ = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A₁₃ = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперь мы можем сосчитать детерминант.

detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ≠ 0 =>   обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.

в). Найдем обратную матрицу А^-1.

По определению:

          A₁₁ A₂₁ A₃₁

A^-1 = A₁₂ A₂₂ A₃₂       · 1/ detA,

          A₁₃  A₂₃ A₃₃

где А₁₁, …, А₃₃ - алгебраические дополнения матрицы А.

Для нахождения обратной матрицы А^-1, сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А:

A₂₁ = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94     

        5,7 1,2

A₂₂  = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

         4,5 1,2

A₂₃  = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13   

         4,5 5,7

A₃₁ = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

         6,1 2,8

A₃₂ = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

         2,8 2,8

A₃₃   = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 -  12,88 = - 12,24

          2,8 6,1

Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А^-1, подставив в формулу полученные данные:

1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7     0,1800675 - 0,8115543 0,72318786                      A^-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722  0,7290234 0,44933516

- 11,49 20,13 - 12,27   0,2394647 - 0,4195323 0,25572089

Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:

A^-1 · A = E,  где E - единичная матрица, то обратная матрица найдена верно.

                   0,1800675 - 0,8115543 0,7231879      0,1 4,6 7,8

A^-1 · A  = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8

                   0,2394647 - 0,4195323 0,2557209       4,5 5,7 1,2

 

Произведем промежуточные вычисления:

С₁₁ = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1

C₁₂ = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0

C₁₃ = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0

C₂₁ = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0

C₂₂ = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1

C₂₃ = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0

C₃₁ = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0

C₃₂ = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0

С₃₃ = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1

                 1 0 0

A^-1 · A     = 0 1 0  = E

                  0 0   1

Обратную матрицу нашли верно.

г).  Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).

По определению: X = A^-1 · B,

где B — исходная матрица B (матрица свободных членов).

 

0,1800675 - 0,8115543  0,7231879       9,8        0,521737      

X  =  - 0,1925722   0,7290234 - 0,4493352 ·     6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323  0,2557209       5,8        1,019069

Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений:

x₁ = 0,521737

x₂ = 0,391105

x₃  = 1,019069

д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Система уравнений методом обратной матрицы решена верно.

 

1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL.

Шаг первый:

Для решения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходными данными:

а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимо обратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица.

б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические.

в). В окне “Массив” укажем адрес массива исходной матрицы A6:C8.

г). Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках A11:C13 появится:

— в режиме формул — =МОБР(А6:C8);

— в режиме значений — массив обратной матрицы.

Шаг третий:

Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов:

а). Выделим ячейки E11:E13.

б). При помощи Мастера функций выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические.

в). В окно “Массив 1” введем адрес массива обратной матрицы A11:C13.

г). В окно “Массив 2” введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.

д). Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках E11:E13 появится:

— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8);

— в режиме значений — компоненты векторов решения x₁ , x₂, x₃.

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”.

1.2). Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.

Для наглядности создадим сравнительную таблицу:

 

	Математический расчет методом обратной матрицы	Обращение матрицы в EXCEL
x1	0,521737	0,521737318
x2	0,391105	0,391104998
x3	1,019069	1,019069651

 

1.3). Вывод.

 

Сначала предложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы. Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений путем обращения матрицы.

Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.

Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.

Таким образом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются более точные.

 

2) Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.

Для того, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простых итераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x₁, x₂, x₃ были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса.  

Заданная нам система имеет вид:

0,1 x₁  + 4,6 x₂  + 7,8 x₃  = 9,8

2,8 x₁ + 6,1 x₂  + 2,8 x₃ = 6,7

4,5 x₁ + 5,7 x₂   + 1,2 x₃  = 5,8

a) Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения. Получится система вида:

4,5 x₁  + 5,7 x₂ + 1,2 x₃  = 5,8

2,8 x₁ + 6,1 x₂  + 2,8 x₃ = 6,7

0,1 x₁ + 4,6 x₂  + 7,8 x₃    = 9,8

б)  Для решения системы уравнений методом простых итераций необходимо представить полученную систему уравнений в итерационной форме, записав каждое из трех уравнений в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.

4,5 x₁ + 5,7 x₂ + 1,2 x₃  = 5,8

x₁ = - 5,7 x₂ / 4,5 - 1,2 x₃ / 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8 x₁ + 6,1 x₂ + 2,8 x₃ = 6,7

x₂   = - 2,8 x₁ / 6,1 - 2,8 x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1 x₁ + 4,6 x₂ + 7,8 x₃ = 9,8

x₃ = - 0,1 x₁ / 7,8 - 4,6 x₂ / 7,8 + 9,8 / 9,7

В итерационной форме получили систему:

x₁ =                   - 5,7 x₂ / 4,5 - 1,2 x₃ / 4,5 +  5,8 / 4,5

x₂  = - 2,8 x₁ / 6,1                    - 2,8 x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

x₃ = - 0,1 x₁ / 7,8 - 4,6 x₂ / 7,8                   + 9,8 / 9,7 

в) Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.

При использовании итерационного метода решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости метода для данной системы. Первое условие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x₁, x₂, x₃ в полученной системе являются максимальными по модулю).

г) Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).

Теперь необходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║ C ║), т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы, которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесс сходится только в том случае,если норма матрицы [ С ] меньше единицы, т.е. 

                                         ║C║=√Σa_aj² <1     

   В итерационной форме имеем систему:

x₁ = - 5,7 x₂ / 4,5  - 1,2 x₃ / 4,5 + 5,8 / 4,5

x₂ = - 2,8 x₁ / 6,1 - 2,8 x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

x₃  = - 0,1 x₁ / 7,8 - 4,6 x₂ / 7,8 + 9,8 / 7,8

или

x₁ =    0    - 5,7 x₂ / 4,5 - 1,2 x₃ / 4,5 + 1,288889

x₂ = 2,8 x₁ / 7,8 -     0    - 2,8 x₃ / 6,1 + 1,0983607

x₃  = 0,1 x₁ / 7,8 - 4,6 x₂ / 7,8 -    0    + 1,2564103

Проверка выполнения второго условия “НОРМА”:

         0           - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5

[C] = - 2,8 / 6,1      0        - 2,8 / 6,1

          - 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8      0

║C║ = √ У a_ij² < 1

║C║ = √ (-5,7 / 4,5)² + (-1,2 / 4,5)² + (-2,8 / 6,1)² + (-2,8 / 6,1)² + (-0,1 / 7,8)² + (-4,6 / 7,8)²

║C║= √ (-1,2666667)² +(-0,2666667)² +(-0,4590164)² +(-0,4590164)² +(-0,0128205)² +(-0,5897436)²

║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)

║C║ =√ 2,4449144

║C║ = 1,5636222 > 1

Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.

Вывод: так как второе условие сходимости итерационного процесса невыполнено, то решение данной системы уравнений не может бытьполучено методом простых итераций.

Задача 3.

Комплексные числа.

Даны два комплексных числа, записанные в показательной форме.

z₁ = 3e ^{-(р/4) i}

z₂ = е ^{(р/4) i}

1). Записать эти числа в тригонометрической форме;

2). Найти сумму z₁ + z₂  и произведение z₁ · z₂, переведя их в алгебраическую форму записи;

3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты.

Основные понятия.

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: