 |
Модель механического континуума
|
|
|
|
В модели механического континуума предполагается ограничение механического смещения атомов вблизи интерфейса. В работе Рихтера предложена следующая модель пространственного ограничения фононов,смысл которой понятен из рис. 32.
Волновая функция фонона с волновым вектором q0 в бесконечном кристалле имеет вид функции Блоха:
ф (qo,r)= u (qo,r) exp i (qo,r),
где u (qo,r) имеет периодичность решётки.
Рис. 32. Схематическое изображение локализованного фонона и граничных условий для смещений u (r)и потенциала ф (r) в модели механического континуума.
.
Если фонон ограничен сферой диаметра R, волновую функцию фонона можно представить в виде
Ψ (qo,r)= W (r,R) ф (qo,r) = Ψ´ (qo,r) u (qo,r), Ψ´ (qo,r)= W (r,R) exp i (qo,r),
где функция W (r,R) описывает конфайнмент и может быть выбрана различными способами. Волновую функцию Ψ´ (qo,r) ограниченного фонона можно выразить через интеграл Фурье
Ψ´ (qo,r)=∫ C (qo,q) exp i (qo,r) d 3 q,
где Фурье-коэффициенты C (qo,q) даются обратным преобразованием Фурье, т. е. выражением
Таким образом, волновая функция ограниченного фонона является результатом суперпозиции плоских волн с волновыми векторами q вблизи q0. Следовательно, в колебательном спектре должны присутствовать частоты с различными волновыми векторами, а спектральная линия будет образована суперпозицией гармоник. Для описания каждой гармоники удобнее всего взять лоренцево распределение, так как это наиболее простой и удобный способ, позволяющий учесть затухание фонона. Тогда форма линии, наблюдаемой в спектре комбинационного рассеяния, будет складываться из лоренцианов с центрами на частотах w (q) с весовыми множителями, которые задаются типом локализации фонона:
|
|
|
,
где w (q) – дисперсионная зависимость фонона, Г 0 – действительная ширина линии, а интегрирование ведётся по всей зоне Бриллюэна. Имеются физические предпосылки для использования в качестве аподизирующей функции использовать гауссиан, так как он в какой то мере отражает распределение наночастиц по размерам. В таком случае для гауссова распределения W (r,R) = exp[– (ar 2/ R 2)], получаем │ C (0, q)│2= exp[– (q 2 R 2/4)], (значение коэффициента a = 4 π 2 получено при анализе контуров рамановских линий для ряда нанокристаллических полупроводников). Тогда в приближении сферической зоны Бриллюэна
.
Множитель 4 pq 2появляется после интегрирования по углам, т. е. является следствием приближения сферической зоны Бриллюэна. Построение спектральной линии, а также вклад отдельных гармоник помогает понять рис. 33.
Рис. 33. Вклад внутризонных колебательных мод в спектральную линию колебаний нанокристалла. Данный рисунок состоит из двух зависимостей, объединенных по оси частот. Первая из них (в левой части) образована горизонтальной шкалой интенсивностей и вертикальной школой частот; на ней изображена спектральная линия – результат суммирования отдельных мод в соответствии с весами. Спектральная линия образована суперпозицией отдельных гармоник, суммирование которых производится в соответствии с весовыми множителями. Вторая часть рисунка образована горизонтальной шкалой волновых векторов и общей вертикальной шкалой частот. На ней построена весовая функция, позволяющая увидеть вклад каждой гармоники, и дисперсионная зависимость оптической ветви. На рисунке под цифрой 1 показана зависимость, стоящая в числителе подынтегрального выражения и определяющая мощность отдельных гармоник, т. е. является огибающей весовых множителей. Под цифрой 2 изображена дисперсионная зависимость ω = ω 0+ ω /2cos[(π/aN) pa ], оптической фононной ветви с шириной 2 ω, которая является следствием модели, выбранной для описания колебаний. Вертикальные линии соответствуют дискретным значениям волнового вектора q =(π/aN) p, горизонтальные – возможным частотам колебаний.
|
|
|
В случае кристалла малых размеров волновой вектор принимает ряд дискретных значений, и интеграл заменяется суммой. В колебательном спектре можно ожидать ряд линий на дискретных частотах, определяемых дисперсией соответствующей оптической ветви. Вид спектральной линии в этом случае зависит от размеров нанокристалла. На рис. 34 показана зависимость формы линии отразмеров нанокристалла и величины затухания для одномерной модели (цепочка атомов).
Рис. 34. Контур спектральной линии в зависимости от размеров модели нанокристалла (слева) и величины затухания ω 0.(справа) Размеры цепочки варьируются от 5-ти элементарных ячеек (сплошная линия) до 9 (прерывистая линия), т. е. N =5,7,9. При этом величина затухания составляет ω 0 =5 см–1. Величина затухания (правый рисунок) принимает значения от ω 0=3см–1(прерывистая линия) до ω 0=5см–1 (сплошная линия), т. е. ω 0 = 3,4,5 см–1. В этом случае размер цепочки составляет 5 элементарных ячеек.
|
|
|
