Эргодические случайные процессы
Стр 1 из 4Следующая ⇒ Процессы, соответствующие случайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, поскольку результат каждого наблюдения над процессом невоспроизводим. Функция времени, описывающая случайное явление, называется выборочной функцией, а при конечном времени ее наблюдения – реализацией. Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, образуют случайный процесс (СП) Классификация случайных процессов представлена в таблице 2.
Таблица 2 – Классификация случайных процессов
Стационарные случайные процессы
Случайный процесс Рассмотрим множество выборочных функций случайного процесса
Рисунок 1.7 – Множество выборочных функций СП
Среднее значение
где
Ковариационная функция
Введенные выше функции (1.11), (1.12) определяются по ансамблю выборочных функций, поэтому способ усреднения носит названия усреднения по ансамблю. Если среднее значение и ковариационная функция случайного процесса изменяются с течением времени Для слабо стационарного случайного процесса справедливы следующие соотношения для среднего значения и ковариационной функции: 1. 2. При дополнительной независимости ковариационной функции процесса еще и от временного сдвига 1. 2.
Эргодические случайные процессы
Случайный процесс может быть описан не только путем усреднения значений процесса в отдельные моменты времени (т.е. усреднением по ансамблю), возможно также его описание путем усреднения по времени наблюдения одной выборочной функции (рисунок 1.8).
Среднее значение и ковариационная функция случайного процесса в этом случае принимают вид:
где
Такой способ усреднения носит названия усреднения по времени наблюдения. Если среднее значение и ковариационная функция процесса, рассчитанные по соотношениям (1.13), (1.14), одинаковы для различных выборочных функций (различных номеров реализаций
Для таких процессов справедливы следующие соотношения: 1. 2. Усредненные характеристики эргодических случайных процессов, рассчитанные усреднением по ансамблю выборочных функций и усреднением по времени наблюдения одной выборочной функции, равны между собой. Введенные выше усредненные характеристики СП могут быть записаны в операторной форме:
где
1.2.3 Погрешности выборочных оценок
Рассмотрим еще раз формулы расчета среднего значения случайного процесса путем усреднения по ансамблю выборочных функций и усреднения по времени наблюдения одной реализации
Обе формулы содержат операцию перехода к пределу, которая на практике, конечно, неосуществима, поскольку невозможно обработать бесконечное число реализаций ( При обработке случайных процессов ошибки подразделяют на случайные и систематические. Случайные ошибки являются следствием разброса значений, полученных по разным выборочным функциям одного случайного процесса. Эти ошибки являются прямым следствием конечности числа реализаций Величина случайной ошибки обратно пропорциональна корню квадратному из числа реализаций или времени наблюдения:
Анализ соотношения (1.15) показывает, что для уменьшения случайной ошибки измерений, например, в два раза необходимо увеличить время обработки реализации или количество выборочных функций в четыре раза. Абсолютное значение и знак систематических ошибок не изменяется при переходе от одной выборочной функции к другой. Такие ошибки называют также смещением. Смещение часто появляется при приближенном вычислении производных, например при оценивании плотностей вероятности.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|