 |
Эргодические случайные процессы
|
|
|
|
Процессы, соответствующие случайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, поскольку результат каждого наблюдения над процессом невоспроизводим.
Функция времени, описывающая случайное явление, называется выборочной функцией, а при конечном времени ее наблюдения – реализацией. Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, образуют случайный процесс (СП) 
.
Классификация случайных процессов представлена в таблице 2.
Таблица 2 – Классификация случайных процессов
| Случайные процессы | ||
| Стационарные процессы | Нестационарные процессы | |
| Эргодические процессы | Неэргодические процессы | Частные случаи нестационарных процессов |
Стационарные случайные процессы
Случайный процесс в любой момент времени может быть описан путем усреднения величин по множеству выборочных функций, образующих случайный процесс.
Рассмотрим множество выборочных функций случайного процесса (рисунок 1.7) и введем понятия среднего значения и ковариационной функции СП.
– выборочная функция, 
– количество выборочных функций,
– момент усреднения, 
– временной сдвиг между точками СП
Рисунок 1.7 – Множество выборочных функций СП
Среднее значение 
случайного процесса в момент времени 
находят путем суммирования мгновенных значений каждой выборочной функции в момент времени и деления полученной суммы на число выборочных функций:
, (1.11)
где – выборочная функция;
– момент усреднения;
– номер выборочной функции;
– количество выборочных функций.
Ковариационная функция 
случайного процесса 
представляет собой усредненное произведение мгновенных значений случайного процесса в два момента времени, отстоящие друг от друга на интервал 
:
|
|
|
. (1.12)
Введенные выше функции (1.11), (1.12) определяются по ансамблю выборочных функций, поэтому способ усреднения носит названия усреднения по ансамблю.
Если среднее значение и ковариационная функция случайного процесса изменяются с течением времени 
, то процесс считается нестационарным. Если же названные функции не зависят от момента усреднения , то процесс относится к стационарным процессам.
Для слабо стационарного случайного процесса справедливы следующие соотношения для среднего значения и ковариационной функции:
1. 
;
2. 
.
При дополнительной независимости ковариационной функции процесса еще и от временного сдвига , процесс считается строго стационарным:
1. ;
2. 
.
Эргодические случайные процессы
Случайный процесс может быть описан не только путем усреднения значений процесса в отдельные моменты времени (т.е. усреднением по ансамблю), возможно также его описание путем усреднения по времени наблюдения одной выборочной функции (рисунок 1.8).
– выборочная функция, – временной сдвиг между точками СП,
– время наблюдения выборочной функции
Рисунок 1.8 – Выборочная функция СП
Среднее значение и ковариационная функция случайного процесса в этом случае принимают вид:
, (1.13)
, (1.14)
где – выборочная функция;
– номер выборочной функции;
– время наблюдения выборочной функции.
Такой способ усреднения носит названия усреднения по времени наблюдения.
Если среднее значение и ковариационная функция процесса, рассчитанные по соотношениям (1.13), (1.14), одинаковы для различных выборочных функций (различных номеров реализаций ), а случайный процесс является стационарным, то он относится к эргодическим случайным процессам.
|
|
|
Для таких процессов справедливы следующие соотношения:
1. 
;
2. 
.
Усредненные характеристики эргодических случайных процессов, рассчитанные усреднением по ансамблю выборочных функций и усреднением по времени наблюдения одной выборочной функции, равны между собой.
Введенные выше усредненные характеристики СП могут быть записаны в операторной форме:
,
,
где 
– оператор усреднения.
1.2.3 Погрешности выборочных оценок
Рассмотрим еще раз формулы расчета среднего значения случайного процесса путем усреднения по ансамблю выборочных функций
и усреднения по времени наблюдения одной реализации
.
Обе формулы содержат операцию перехода к пределу, которая на практике, конечно, неосуществима, поскольку невозможно обработать бесконечное число реализаций (
) или одну реализацию бесконечной длины (
). Поэтому анализ случайных процессов дает только выборочные оценки истинных значений их параметров. Необходимо уметь оценивать величину возникающей при этом ошибки.
При обработке случайных процессов ошибки подразделяют на случайные и систематические.
Случайные ошибки являются следствием разброса значений, полученных по разным выборочным функциям одного случайного процесса. Эти ошибки являются прямым следствием конечности числа реализаций или времени наблюдения . По этой причине случайные ошибки неизбежны.
Величина случайной ошибки обратно пропорциональна корню квадратному из числа реализаций или времени наблюдения:
~ 
или ~ 
. (1.15)
Анализ соотношения (1.15) показывает, что для уменьшения случайной ошибки измерений, например, в два раза необходимо увеличить время обработки реализации или количество выборочных функций в четыре раза.
Абсолютное значение и знак систематических ошибок не изменяется при переходе от одной выборочной функции к другой. Такие ошибки называют также смещением. Смещение часто появляется при приближенном вычислении производных, например при оценивании плотностей вероятности.
|
|
|
