вблизи проводящей плоскости
Стр 1 из 3Следующая ⇒ электромагнитное поле Силовое воздействие поля на электрические заряды и токи положено в основу определения основных векторных величин, которыми характеризуют поле: напряженности электрического поля E и индукции магнитного поля B. 1. Напряженность электрического поля – физическая характеристика электрического поля, определяющая силовое воздействие поля на неподвижный электрический заряд. Напряженность электрического поля Сила электрического поля, действующая на заряд, направлена вдоль вектора Под действием электрического поля происходит поляризация вещества т.е. ориентация диполей относительно векторов поля. Поляризация – это сумма всех дипольных моментов вещества, отнесенная к единице объема Поляризация показывает, насколько вектор электрического смещения индукции в данной среде отличается от вектора электрического смещения в вакууме.
Рис.1.1 Если среда состоит из заряженных частиц (диполей), выстраивающихся по направлению приложенного электрического поля, то поляризация называется ориентационной (рис.1.1). Если среда состоит из нейтральных (в электрическом отношении) частиц, то происходит электронная поляризация, т.е. вытягивается электронная оболочка атомов. В любом случае где ε 0 = 1/36 π ∙10-9 Ф/м = 8,85 пФ/м – электрическая постоянная;
χ э – электрическая восприимчивость;
где(1+ χ э) = εr εr – относительная электрическая проницаемость; ε = ε 0 εr – абсолютная электрическая проницаемость;
2. Магнитная индукция – это физическая характеристика магнитного поля, определяющая силовое воздействие на движущийся заряд.
Численно магнитную индукцию поля можно определить по механической силе, действующей на движущийся заряд, либо на элемент проводника с током: Направление силы ( Для заряда q, движущегося со скоростью v С вектором магнитной индукции напряженность магнитного поля где μ = μ0 μr – абсолютная магнитная проницаемость, μ0 = 4 π ∙10-7 Гн/м – магнитная постоянная, μr = (1 + χM) -– относительная магнитная проницаемость,
Намагниченность пропорциональна напряженности приложенного поля: где χМ – магнитная восприимчивость. .
1.3. Виды плотности тока Электрический ток создает магнитное поле как составную часть электромагнитного поля. Различают токи проводимости, смещения и переноса. 1. Вектор плотности тока проводимости образуется движением зарядов в проводящей среде под действием постоянного или переменного во времени поля напряженностью 2. Вектор плотности тока переноса образуется заряженными телами и частицами, движущимися в непроводящей среде или в вакууме со скоростью
3. Вектор плотности тока смещения наблюдается только в переменном во времени поле. 6. Вектор плотности полного тока
Линии плотности полного тока всегда замкнуты Общим свойством для всех видов тока является создание магнитного поля. Классификация сред. Классификация сред проводится в зависимости от поведения макроскопических параметров ε, μ, σ. По зависимости ε, μ, σ от координаты среды делятся на однородные и неоднородные. Если макроскопические параметры среды не зависят от координаты, то среда однородная. Макроскопические параметры ε, μ, σ в большинстве случаев можно считать не зависящими от величины векторов поля. Материальные уравнения оказываются при этом линейными. Соответственно этому употребляется выражение «линейные среды». Однако существуют и имеют важное техническое значение среды, отличающиеся заметной зависимостью макроскопических параметров от векторов поля. Их называют «нелинейными». В электротехнике, как известно, распространены ферромагнетики – вещества, магнитная проницаемость которых значительно и сложным образом зависит от магнитного поля. Им аналогичны сегнетоэлектрики, обладающие сходной зависимостью диэлектрической проницаемости от электрического поля. Нелинейность ряда сред проявляется в сильных полях. До сих пор говорилось лишь о так называемых изотропных средах, свойства которых одинаковы для полей любых направлений. Однако существуют среды, проявляющие разные свойства в зависимости от направления поля, они называются анизотропными. Разделим также среды на проводники и диэлектрики. Для такого разделения сред необходимо ввести определенный критерий. Идеальным проводником назовем среду, в которой существует только ток проводимости, а в идеальном диэлектрике существует только ток смещения. Для реальных сред эти условия отображаются следующими неравенствами: если
Вопросы для самопроверки 1. Что изучает теория электромагнитного поля? 2. Назовите свойства и особенности электромагнитного поля. 3. Какие величины характеризуют электромагнитное поле? 4. Как можно графически представить электрическое поле двух зарядов?
5. Что называют точечным зарядом? 6. Как определяют напряженность поля, созданного несколькими зарядами? 7. Укажите размерности величин, характеризующих электромагнитное поле.
1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл 1.4.1.Закон полного тока Закон полного тока в интегральной форме устанавливает связь между электрическим током и напряженностью магнитного поля и формулируется следующим образом. Циркуляция напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равна полному току сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:
Полный ток равен алгебраической сумме токов проводимости, смещения и переноса:
В соответствии с вышесказанным плотность полного тока в произвольной среде описывается следующим соотношением:
а полный ток характеризуется выражением
С учетом этого обобщенный закон полного тока примет вид:
Левую часть уравнения преобразуем по теореме Стокса:
Отсюда имеем дифференциальную форму закона полного тока:
где Физическое содержание закона полного тока - магнитное поле порождается не только движущими зарядами (ток проводимости и ток переноса), но и изменяющимся электрическим полем (плотность тока в вакууме):
Возьмем операцию div от левой и правой части выражения закона полного тока:
Из математики известно, что divrot º 0. Отсюда получаем уравнение непрерывности линий вектора плотности тока:
Подставив в это уравнение выражение плотности тока, получим закон сохранения заряда в дифференциальной форме:
Полученное уравнение показывает, что в переменном электромагнитном поле токи и заряды связаны и не могут задаваться независимо друг от друга.
1.4.2. Закон электромагнитной индукции Закон электромагнитной индукции, или закон Фарадея, формулируется следующим образом. Электродвижущая сила, возникающая в контуре при изменении магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром, равна скорости изменения потока, взятой со знаком "минус", т.е.
где электродвижущая сила определяется как
магнитный поток записывается в виде
Закон электромагнитной индукции определяет связь электрического поля с изменяющимся во времени магнитным полем. С учетом (1.1), (1.2) и (1.3) закон можно представить в форме
![]() Отсюда имеем дифференциальную форму закона электромагнитной индукции
Физическое содержание закона электромагнитной индукции: любое изменение магнитного поля во времени вызывает возникновение в той же точке пространства связанного с ним поля электрического. Из совместного анализа 1-го и 2-го уравнений Максвелла следует вывод, переменное электрическое и переменное магнитное поля должны рассматриваться как два связанных проявления единого электромагнитного процесса. Электромагнитным полем называется совокупность взаимносвязанных и обуславливающих друг друга электрического и магнитного полей.
1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
В интегральной форме.
Поток вектора магнитной индукции
где для однородных изотропных сред
Перейдем к дифференциальной форме записи уравнения (1.5), используя теорему Остроградского–Гаусса:
Отсюда имем принцип непрерывности магнитной индукции в дифференциальной форме:
Физическое содержание принципа заключается в том, что не существует магнитных зарядов.
1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла) Поток вектора электрической индукции (вектора электрического смещения)
где Физический смысл теоремы Гаусса заключается в следующем. Если поток вектора Геометрический смысл: линии вектора электрической индукции
Рис.1.2 Теорему Гаусса, Максвелл обобщил (постулировал) и на переменные электрическое поля. Левую часть уравнения (1.6) преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:
Отсюда имеем теорему Гаусса в дифференциальной форме (постулат Максвелла в общем случае):
Четвертое уравнение Максвелла 1.4.5. Система уравнений Максвелла
Система уравнений Максвелла, наиболее полно и точно (насколько это известно) описывает все проявления электромагнитного поля, в них заключена вся электродинамика. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
Материальные уравнения:
Здесь
1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
Энергия электромагнитного поля. Плотность энергии электрического поля определяется как
Плотность энергии магнитного поля имеет вид
Плотность энергии электромагнитного поля может быть представлена как
Энергия электромагнитного поля
Для однородных изотропных сред (
что при подстановке в (3.31) дает
Вектор Пойнтинга. Векторное произведение
Рис.1.3
Теорема Умова-Пойтинга математически выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле. Теорема представляет собой своеобразное уравнение энергетического баланса в теории поля подобно уравнению баланса мощностей в электрических цепях. Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться частично или полностью источники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Будем считать среду однородной и изотропной. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:
Здесь Умножим скалярно уравнение (1.7) на
Из курса математики известно, что Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (1.9) следует:
После преобразования получим: Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объему V: Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Гаусса:
где
Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:
Формулировка теоремы Умова-Пойтинга: небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойнтинга, направленным внутрь объема (знак -) через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем. Вектор Пойнтинга Теорема Умова–Пойнтинга имеет большое прикладное значение, поскольку позволяет получить информацию о процессе передачи энергии от источника к приемнику.
1.6.Частные виды электромагнитных полей 1.Статические поля: электростатическое поле - создается неподвижными заряженными телами; магнитостатические поля - поля постоянных магнитов. 2.Стационарные поля: 2.1. Электрическое поле постоянного тока (стационарное электрическое поле) образуется внутри и вне проводников при прохождении по ним постоянного тока. При этом внутри однородного проводника отсутствует объемная плотность заряда, т.е. div 2.2. Магнитное поле постоянного магнитного потока. Магнитное поле постоянного потока и электрическое поле постоянного тока могут рассматриваться независимо друг от друга. 3.Квазистационарные поля ( 4.Общий случай.
Вопросы для самопроверки 1. Объясните физический смысл уравнений Максвелла. 2.Какой формулой может выражаться индукция магнитного поля? а) B = iB 0e- αx ; б) B = iax+jby; в) B = iax;г) B = iax-jby; где: i, j- орты осей.
3.Под индукцией В, входящей в правую часть второго уравнения Максвелла следует понимать: а)индукцию стороннего поля; б) индукцию индуцированного поля; в) индукцию токов электрического смещения; г) индукцию от стороннего и индуктированного полей.
4. Отсутствие магнитных зарядов в природе следует из формулы:
4.Закон электромагнитной индукции в интегральной форме: а) с)
5. div( B /μ0) равна: а) плотности молекулярных токов jм; б) плотности тока проводимости j; в) j+jм; г) 0.
6.Теорема Гаусса в дифференциальной форме имеет вид … а) div B = 0; б;) div H = 0;в) div D =ρ;г) ro t H =0. 7.Стационарное магнитное поле – поле, создаваемое … 1) постоянными токами; 2) электрическими зарядами любого вида; 3) постоянными зарядами и токами; 4 ) неизменными во времени неподвижными зарядами. 8. div D равна: а) объемной плотности связанных зарядов ρсв; б) объемной плотности свободных зарядов ρ; в) ρ+ρсв ; г) поверхностной плотности свободных зарядов.
2.Электростатическое поле
Электростатическое поле представляет собой частный вид электромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических зарядов неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени. Электростатическому полю присуща способность воздействвать на помещенный в него электрический заряд с механической силой, прямо пропорциональной величине этого заряда. 2.1. Закон Кулона
Электростатическое поле – это поле, не изменяющееся во времени. Электростатическое поле является частным случаем электромагнитного поля. Электростатическое поле создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени. Основным законом электростатики является закон Кулона, математически определяющий силу взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов. Закон Кулона: между двумя покоящимися точечными зарядами q1 и q2 действует сила, прямо пропорциональная произведению зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Сила направлена по прямой от одного заряда к другому. где Напряженность электростатического поля можно определить как силу, действующую на единицу заряда. По закону Кулона можно определить величину напряженности электростатического поля, создаваемого уединенным точечным телом с зарядом q в некоторой точке, отстоящей от этого тела на расстоянии r:
Здесь εr – относительная диэлектрическая проницаемость среды;
В линейных средах выполняется принцип наложения. Принцип наложения (суперпозиции): если поле создается несколькими точечными зарядами, то общая напряженность электрического поля в любой точке равна геометрической сумме напряженностей от каждого заряда в отдельности,
где
Если электростатическое поле создается системой распределенных в пространстве зарядов, то эти заряды разбиваются на элементарные точечные заряды dq, а операция сложения заменяется интегрированием по объему, площади или длине, в зависимости от того, как распределены заряды в пространстве.
2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
Для электростатического поля имеем:
Ротор вектора В декартовой системе координат операция
Для однородной среды По теореме Остроградского перейдем к дифференциальной форме уравнения теоремы Гаусса:
Дивергенция вектора Истоком вектора В декартовой системе координат операция div запишется так:
Для однородной среды
2.3. Электрический потенциал
Равенство
приходим к следующему выводу, что для электростатического поля можно найти некоторую скалярную функцию
Скалярная функция Потенциал можно выразить через напряженность электростатического поля с точностью до постоянной:
Запишем формулу, определяющую напряжение между двумя произвольными точками поля а и p:
Напряжение между двумя произвольными точками равно работе (энергии), затраченной полем на перемещение единичного положительного заряда из одной точки в другую. В потенциальном поле напряжение равно разности потенциалов. Полагая потенциал некоторой фиксированной точки p поля равным нулю (
Потенциал некоторой точки есть работа (энергия), затрачиваемая полем на перемещение единичного положительного заряда из данной точки в фиксированную точку, где потенциал принят равным нулю
В электротехнике за базовую точку с заданным нулевым потенциалом принимают “землю”, а при отсутствии заземления - любую точку. Потенциал является энергетической характеристикой поля. Напряженность электрического поля определяется как градиент потенциала где 2.4.Картина поля.
Электрическое поле можно наглядно характеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на отрицательно заряженном теле. Проводится она таким образом, что касательная к ней в любой точке ее дает направление напряженности поля
В электрическом поле могут быть проведены эквипотенциальные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле какой-либо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Их называют эквипотенциальными линиями (или эквипотенциалями). Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом. На рисунке для примера изображены два заряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотенциальных линий.
2.5.Потенциал заданного распределения заряда Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q в некоторой точке, отстоящей от этого тела на расстоянии r определяется выражением (из закона Кулона):
Определим потенциал поля точечного заряда. Подставляя напряженность
Пусть фиксированная точка находится на бесконечности, т. е.
тогда постоянная интегрирования в выражении равна нулю:
В этом случае формула для потенциала произвольной точки поля точечного заряда
Для потенциалов, как и для напряженностей, справедлив принцип наложения (суперпозиции): Потенциал поля n неподвижных точечных зарядов равен:
В случае непрерывного распределения заряда с учетом имеем:
При решении задач электростатики обычно рассчитывается потенциал в точках поля, а затем определяется напряженность
2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
Рассмотрим систему из двух разноименных, но равных по абсолютной величине точечных зарядов, находящихся на расстоянии l. Ее электрическим моментом является вектор где q – абсолютная величина каждого заряда,
| |||||||||||||||
|
|