 |
Примерная экзаменационная работа.
|
|
|
|
Дисциплина: Математика
Специальность: 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», А-5207
При выполнении заданий соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2.
| 1. | Найдите 
|
1.  2. 
3.  4. 
|
| 2. |
Вычислите определённый интеграл
| 1.24; 2. 20; 3. 4; 4.8. |
| 3. | а) Произведение двух событий А и В. б) Сумма двух событий А и В. | 1) Появление хотя бы одного из событий А и В. 2) Совместное появление событий А и В. |
| 4. | а) Размещение из n элементов по k. б) Сочетание из n элементов по k. | 1) Упорядоченная выборка, содержащая k элементов множества, состоящего из n элементов. 2) Неупорядоченная выборка, содержащая k элементов множества, состоящего из n элементов |
| 5. | а) Гистограмма. б) Полигон. | 1) Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами  ,  , …,  .
2) Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых есть частичные интервалы длиной h (одинаковой для всех интервалов), а высоты равны частотам.
|
| 6. | а) Варианта. б) Выборка. | 1) Совокупность возможных значений случайной величины. 2) Различные значения случайной величины. |
| 7. | а) Непрерывная случайная величина. б) Дискретная случайная величина. | 1) Случайная величина, множество значений которой конечное или бесконечное, но счетное. 2) Случайная величина, множество значений которой заполняют некоторый промежуток. |
| 8. | а) Размещение из n элементов по k. б) Сочетание из n элементов по k. | 1) Соединение, в которой важен порядок расположения элементов, и изменение состава приводит к новой выборке. 2) Соединение, в которой порядок расположения элементов не важен, и изменение состава приводит к новой выборке. |
| 9. | а) Достоверное событие. б) Невозможное событие. | 1) Вероятность равна нулю. 2) Вероятность равна единице. |
| 10. | а) Произведение взаимно противоположных событий. б) Сумма взаимно противоположных событий. | 1) Невозможное событие. 2) Достоверное событие. |
| 11. | а) Комбинаторика. б) Статистика. | 1) Наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлений в жизни. 2) Раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. |
| 12. | Производная 
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
|
| 13. | Новое высказывание, которое принимает значение «истинно», если оба высказывания одновременно истинные или ложные; во всех остальных случаях принимает значение «ложь». | а) конъюнкция; б) дизъюнкция; в) эквиваленция; г) импликация. |
| 14. | А: «Рыть яму другому» и В: «Попасть в яму».
Высказывание  …
| а) «Рыть яму другому и попасть в яму». б) «Рыть яму другому или попасть в яму». в) «Если рыть яму другому, то можно попасть в яму». г) «Тогда и только тогда можно попасть в яму, когда роешь яму другому». |
| 15. | Пример, не являющийся высказыванием. | а) Все столы имеют форму прямоугольника. б) Алгебра – раздел математики. в) 2+3=4. г) Есть ли жизнь на Луне? |
| 16. | В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Количество ребят, умеющих плавать и играть в шахматы, равно … | а) 22; б) 32; в) 10; г) 15. |
| 17. | А  и В  .
Множество 
| а)  ; б)  ;
в)  ; г) пустое множество.
|
| 18. | а) 
б) 
| 1) 0. 2) а. |
| 19. | Значение дифференциала функции  при х=1,dх=-0,01
| 1) 0,2e 2)0,02e 3)-0,01e 4) -0,01e |
|
|
|
Вариант 0.
Задание 1. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
Решение
а) 
б)
Положим 
. Тогда 
. Подставляя в формулу 
.
|
|
|
Задание 3.Найти общее решение дифференциальных уравнений.
а) 
; б) 
Решение.
а) Сначала разделим переменные:
.
Далее проинтегрируем обе части полученного равенства:
Используя свойство логарифмов, получим:
б) 
.
Сделав замены 
и 
, получим 
.
Сгруппируем второе слагаемое с третьим:
Приравнивая к нулю выражение в скобках, находим функцию 
:
Подставив в уравнение (1), находим 
:
Найдём интеграл методом замены:
.
Получим, что 
.
Итак, общее решение данного уравнения есть 
.
Задание 4. Составьте таблицy истинности. Упростите выражение и сделайте вывод об их истинности: (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.
| X | Y | XÙ Y | XÚ Y | (XÙ Y)® (XÚ Y) |
Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией
Задание 5. Найдите множества 
, 
, если 
.
Решение: Отметим точки на числовой прямой, соблюдая включаемость точек в множество.
Применяя определения, получаем:
1) т.к. 
, то 
(выбираем те точки, которые не входят в объединение множеств А и В;
2) 
(те точки, которые принадлежат обоим промежуткам);
3) 
(те точки, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству С);
4) т.к. 
, тогда 
(точки множества 
исключают все точки множества А);
5) 
(точки, которые принадлежат множеству С, но не принадлежат множеству В);
6) 
(точки, которые принадлежат либо множеству А, либо В, но не являются общими элементами)
Задание 6. Доказать с помощью кругов Эйлера тождество 
.
Решение:
Для доказательства тождества с помощью кругов Эйлера, представьте отдельно левую и правую часть тождества. Сравнение рисунков даёт возможность сделать вывод о справедливости тождества.
Ответ:Области более темного цвета совпадают, тождество доказано.
Задание 8. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что
выстрелы произведены первым стрелком.
Решение.
Событие А - после произведенных выстрелов мишень не поражена.
Возможны три гипотезы:
|
|
|
на линию огня вызван первый стрелок,
на линию огня вызван второй стрелок,
на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то 
Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы 
после опыта:
Ответ. Вероятность того, что мишень не поражена первым стрелком 0,628.
Задание 9. В студенческой группе 55% имеют высокий уровень подготовки по «математике», 35% – средний и 10% – низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно, что некоторый студент сдал экзамен. Найти вероятность того, что сдал экзамен студент, имеющий средний уровень подготовки.
Решение.
Событие А- студент сдал экзамен.
Возможны три гипотезы:
студент имеет высокий уровень подготовки,
студент имеет средний уровень подготовки,
студент имеет низкий уровень подготовки.
Из условия задачи определим вероятности: 
Причём 
Условные вероятности: 
По формуле Байеса вероятность гипотезы 
при условии, что экзамен сдан
Ответ. Вероятность того, что сдал экзамен студент, имеющий средний уровень
подготовки равна 0,303.
Вариант №7.
1. Найти неопределенные интегралы.
а) 
.
Решение.
Это интеграл от алгебраической суммы функций.Применяя свойства интеграла, получим:
б). 
Используем метод интегрирования по частям.
Обозначим через 
, тогда 
.
Находим 
и 
. Тогда
2. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница.
а) 
.
Решение.
Примем за 
, тогда 
.
Найдем 
, 
. Тогда
б) Вычислить определенный интеграл 
.
Решение.
Пусть 
, тогда 
, 
.
Если х =0, то 
, если х =3, то 
. Тогда
.
3.Найти общее решение дифференциальных уравнений
а) 
; б) y'' − 6 y' + 5 y = 0.
а) Решить уравнение: .
Решение.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя, получаем 
б) Решить дифференциальное уравнение y'' − 6 y' + 5 y = 0.
Решение.
Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:
Корни данного уравнения равны k 1 = 1, k 2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:
|
|
|
где C 1 и C 2 − произвольные постоянные.
4.Составьте таблицy истинности. Упростите выражение и сделайте вывод об их истинности: 
Решение:
Используя последовательно основные равносильности, получим:
Таблица истинности:
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
Истинные и ложные значения четвёртой и последней колонок совпадают.
5. Найдите множества , если 
Решение:
Отметим точки на числовой прямой, соблюдая включаемость точек в множество.
Применяя определения, получаем:
1) т.к. , то 
(выбираем те точки, которые не входят в объединение множеств А и В);
2) (те точки, которые принадлежат обоим отрезкам);
3) (те точки, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству С);
4) т.к. , тогда (точки множества исключают все точки
множества А);
5) (точки, которые принадлежат множеству С, но не принадлежат множеству В).
6.Доказать с помощью кругов Эйлера тождество .
Решение:
Области более темного цвета совпадают.
8.В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется хотя бы один белый шар.
Решение.
Испытание – вынимают 4 шара из 11.
Событие – среди вынутых шаров хотя бы один белый.
Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 чёрных (
), 2 белых и 2 чёрных (
), 3 белых и 1 чёрный (
), 4 белых (
).
Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле 
вычислить вероятность искомого события.
Рассмотрим противоположное событие 
– среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные.
n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.
m: Сколькими способами можно вынуть 4 чёрных шара.
Используя формулы комбинаторики, получим:
, 
.
Вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого равна 
. Ответ: .
9.В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом–изготовителем.
|
|
|
Решение.
Испытание – выбирают электродвигатель и проверяют его работу во время гарантийного срока.
Событие А – электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока.
Гипотезы: монтёр возьмёт двигатель из продукции 1-го завода;
монтёр возьмёт двигатель из продукции 2-го завода;
монтёр возьмёт двигатель из продукции 3-го завода.
Из условия задачи определим вероятности: 
Причём 
По формуле Байеса найдём условные вероятности:
Итак, с вероятностью 0,566 можно утверждать, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен первым заводом-изготовителем; с вероятностью 0,160 – вторым; с вероятностью 0,274 – третьим.
Ответ: 0,566; 0,160; 0,274.
10.При изучении некоторой дискретной случайной величины в результате 40 независимых наблюдений получена выборка:
10, 13, 10, 9, 9, 12, 12, 6, 7, 9;
8, 9, 11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7;
10, 10, 11, 11, 11, 12, 8, 7, 9, 10;
14, 13, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12.
Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу частот; в) построить полигон.
Решение:
а) Выбирая различные варианты из выборки и располагая их в возрастающем порядке, получим вариационный ряд: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
б) Для нахождения частот 
предварительно подсчитаем для каждой варианты соответствующие кратности 
:1, 3, 6, 8, 6, 6, 5, 3, 2.
Таблица частот
| |||||||||
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
|
| 
|
в) Полигон изображён на рисунке.
|
|
|
