Статистический смысл энтропии.

Переход к статистическому весу позволяет записать выражение для энтропии в следующем виде:

.

(5.123)

Эта формула носит название формулы Больцмана. Она позволяет рассчитать статистическую энтропию системы.

В частности, из этой формулы следует, что энтропия термодинамической системы со статистическим весом равным единице, когда все частицы системы находятся в одинаковых состояниях, равна нулю. А в состоянии с максимальным статистическим весом энтропия также принимает максимальное значение.

Для статистической энтропии выполняется требование аддитивности. Если система может быть разделена на две не взаимодействующие подсистемы, статистические веса которых соответственно равны G₁ и G₂, то её статистический вес G вычисляется как произведение весов подсистем:G=G₁G₂. При этом энтропия в соответствии с формулой (5.123) равна:

(5.124)

или

.

(5.125)

Следовательно, статистическая энтропия макроскопической системы, состоящей из не взаимодействующих подсистем, равна сумме энтропий этих подсистем.

 

52. З-н сохр-я заряда. З-н Кулона. Напряж-ть электрич-го поля. Принцип суперпозиции. Электрический заряд — физическая величина, определяющая ин­тенсивность электромагнитного взаимодействия.

Свойства заряда:

1.Носителями электрического заряда являются заряженные эле­ментарные частицы — протон и электрон (а также некоторые неста­бильные частицы: п-мезоны, m-мезоны и т.д.). Заряженные частицы взаимодействуют друг с другом с силами, убывающими с расстоянием так же медленно, как гравитационные, но во много раз превышающими их по величине.

2.Все заряженные элементарные частицы обладают одним и тем же по величине зарядом, который называют элементарным зарядом и обозначают буквой е. Опыт показывает, что заряд элементарных частиц не зависит от их скорости.

3.Заряд элементарных частиц может быть положительным или от­рицательным. Одноименные частицы отталкиваются, разноименные — притягиваются. За положительный заряд принят заряд протона +е. Заряд электрона — отрицательный (-е).

Заряженные тела. Если в состав макроскопического тела входит различное количество электронов Nе и протонов Nр, то оно оказыва­ется заряженным. Заряд тела всегда представляется числом, кратным величине элементарного заряда: q — е (Nр — Nе).

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что полный заряд замкнутой системы, т.е. алгебраическая сумма зарядов всех тел, постоянен. Это утверждение очевидно, если в системе не происходит превращений элементарных частиц. Но закон сохранения заряда имеет более фундаментальный характер — он выполняется в любых процессах рождения и уничтожения элементарных частиц.

Закон Кулона описывает взаимодействие точечных зарядов, т.е. элементарных частиц или заряженных тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Полная формулировка закона Кулона включает в себя три утверждения.

1. Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме (кулоновская сила) прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от системы еди­ниц.

2. Силы взаимодействия направлены вдоль прямой, соединяющей заряды (такие силы называют центральными).

3. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные — притя­гиваются.

Влияние среды. Если точечные заряды находятся в однородном диэлектрике, то приближенно можно считать, что сила взаимодействия (1) уменьшается в е раз, где е — характеристика среды, которую на­зывают диэлектрической проницаемостью.

Взаимодействие заряженных частиц можно описывать двумя способами.

1. Один заряд через пустое пространство непосредственно дей­ствует на другой заряд (дальнодействие).

2. Взаимодействие передается через посредство электромагнит­ного поля. На заряд действуют не другие заряды, а поле, находящееся в той же точке пространства (близкодействие). Остальные заряды выступают в роли источников этого поля.

Самым простым видом электромагнитного поля является элек­тростатическое поле, создаваемое неподвижными зарядами.

Напряженность электрического поля. Из закона Кулона следует, что сила Fq, действующая на пробный заряд q пропорциональна величине этого заряда. Значит, отношение Fq/q не зависит от q, т.е. является характеристикой поля. Ее называют напряженностью и обозначают буквой Е:

Видно, что само определение напряженности решает задачу о

силе, действующей на заряд д во внешнем поле Е. В системе СИ

напряженность измеряют в Н/Кл.

Из закона Кулона и формулы следует, что напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, может быть найдена по формуле

Вектор Е направлен по радиусу от заряда, если Q > 0, и к заряду, если Q < 0. Формулу (3) можно, с учетом знака Q, рассма­тривать как формулу для проекции Е на радиальное направление (ее обозначают Qr).

Если поле Е создается несколькими точечными зарядами, то результирующая напряженность есть векторная сумма напряженностей, созданных отдельными зарядами:

где E1, E2,... вычисляются по формуле E (принцип суперпозиции полей).

Ёсли заряд распределен непрерывно по поверхности (объему), то надо мысленно разбить заряженную поверхность (объем) на точечные заряды, а потом применить принцип суперпозиции. Для описания за­ряда, непрерывно распределенного по поверхности, вводят поверхност­ную плотность заряда g =∆q / ∆ S. Если заряд распределен

неравномерно, то определяют поверхностную плотность в точке,

устремляя ∆ S к нулю. Единица измерения ∆ g— Кл/м².

Распределение Е в пространстве можно представить, нарисовав картинку силовых линий. Ее рисуют так, чтобы по ней можно было: а) узнать направление вектора Е (он направлен по касательной к сило-вой линии - в сторону, указанную стрелкой на этой линии); б) сравнить между собой | Е| в разных точках пространства (|Е| пропорционален густоте силовых линий, т.е. количеству линий, пронизывающих поперечную площадку, деленному на ее площадь).

Оказывается, можно удовлетворить всем этим требованиям, нарисовав картинку, где силовые линии начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность), а в пространстве между зарядами всюду непрерывны (на каждом заряде начинается или заканчивается число линий, пропорциональное его величине).

 

Электрический диполь.

На большом расстоянии молекулу можно приближённо рассматривать, как совокупность двух точечных зарядов, равных по модулю и противоположных по знаку, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Такую в целом нейтральную систему зарядов называют эл. диполем.

 

54-55. Поток вектора через пов-ть. Теорема Гаусса. Для вывода основного уравнения, связывающего поле вектора D с распределением свободных зарядов, введем предваритель­но еще одну вспомогатель­ную величину - поток век­тора D через поверхность.

Рассмотрим простейший случай однородного поля, в котором D - const, т. е. вектор индукции по­всюду одинаков и по вели­чине, и по направлению. В этом случае все линии ин­дукции прямые и идут парал­лельно на одинаковом расстоянии

друг от друга (см. рис. 1.16). Построим площадку S произвольной формы, перпендикулярную линиям вектора D, и определим поток индукции через нее как произведение D на S:

N=DS.(5.9)

Поскольку через единицу площади проходят D линий индукции, то величина N численно равна полному числу линий индукции, пронизывающих эту площадку. Проведем теперь площадку S наклонно к линиям индукции (см. рис. 1.17). Ориентация площадки в пространстве характери­зуется перпендикулярным к ней вектором нормали n. При этом сторона площадки, из ко­торой выходит нормаль n, называется положительной, а противоположная сторона отрицательной. Угол α между на­правлением вектора ин­дукции и нормалью n к площадке может изменять­ся от 0 до 180°. Для нахождения числа N линий индукции, проходящих че­рез эту площадку, спроек­тируем последнюю на плос­кость, перпендикулярную вектору D. Из рис. 1.17 видно, что через площадку S и ее проекцию Sпр проходит одинако­вое число линий индукции, равное

N=DS_пр=DScos α =D_nS (5.10) где D_n=Dcos a — проекция вектора индукции на направление нормали к площадке. Величина N определяемая формулой (5.10), называется потоком вектора электростатической индукции (или потоком вектора электрического смещения) через площадку S. Термин поток заимствован из гидродинамики определяемый аналогично (5,10) поток вектора скорости численно равен объему жидкости, протекающей за единицу времени через данную площадку. Поток индукции есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и

отрицательным. При α <90° линии индукции направлены по отношению к площадке в ту же сторону, как и вектор n, выходят из ее положительной стороны, и, следовательно, N>0 (см. рис. 1.18, а). При α >90° линии индукции вхо­дят в положительную сторону площадки и N<О (см. рис. 1.18, б). Наконец, при α = 90° соsα=0 и N=0, так как линии индукции в этом случае скользят вдоль пло­щадки и не пересекают последнюю (см. рис. 1.18, в).

В общем случае неоднородного поля (D≠const) и про­извольной неплоской поверхности S (D≠const) для нахождения полного потока вектора электростатической ин­дукции N через площадку ее следует мысленно разбить на отдельные бесконечно малые площадки ∆S (см. рис. 1.19). Считая каждую такую площадку практически плоской и поле в ее пределах практически постоянным, можно по формуле (5.10) вычислить поток линий индукции, проходящих через эту площадку:

N=Dcosα∆S=D_n∆S (5.11)

Суммируя элементарные потоки ∆N, проходящие через каж­дый участок поверхности ∆S, по всем таким элементарным участкам, мы найдем полное число линий индукции N, про­низывающих поверхность S:

Закон Кулона и правило наложения электрических нолей в принципе позволяют рассчитать поле, создаваемое любой системой точечных зарядов. В слу­чае непрерывного распределения заряда в пространстве суммирование следует заменить соответствующим интегрированием. Практически, однако, вычисление соответ­ствующих сумм и интегралов часто представляет собой весьма трудоемкую математическую задачу. Поэтому был разработан целый ряд вспомогательных методов и приемов, упрощающих вычисление. Одним из таких практически важ­ных и простых методов является применение теоремы Гаусса, краткий вывод которой мы приведем ниже. Эта теорема позволяет найти поток вектора электростатической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.

Рассмотрим сначала один точечный заряд q, помещен­ный в центре сферы произвольного радиуса r (см. рис. 1,20), и вычислим полный поток индукции N, проходящий через всю поверхность этой сферы наружу. В этом случае численное значение вектора D на всей сфере S (r=const) одинаково и равно D_{точеч.зар.}=k₀(q/r²)

Кроме того, направление вектора D при этом в каждой точке совпадает с направлением внешней нормали к сфере. Тогда входящий в формулу (5.12) соsα=соs0°=1. По­этому полный поток индукции через нашу сферу равен N=∑D∆S*1=D∑∆S=k₀(q/r²)*4πr²=k₀*4πq (6.2)

так как полная поверхность сферы S=4πr².

Из (6.2) следует, что поток индукции, создаваемый то­чечным зарядом, для сферы любого радиуса с центром в источнике поля одинаков и численно равен k₀*4πq. Про­ведя две такие концентрические сферы радиусами r₁ и r₂ (см. рис. 1.21), мы видим, что число линий индукции N. пронизывающих обе сферы, одинаково. Между этими сфе­рами линии индукции идут непрерывно, нигде не заканчи­ваясь и не возникая вновь. Поэтому, если мы проведем между этими двумя сферами замкнутую поверхность S₁ произвольной формы, тоже охватывающую наш точечный заряд q, то полное число линий индукции N через эту поверхность будет также равно k₀*4πq.

При вычислении потока через замкнутую поверхность, так же как и в случае сферы, вектор нормали п следует считать направленным по отношению к поверхности наружу. Линии индукции, выходящие из объема, ограниченного дан­ной поверхностью, создают положительный поток, линии же, входящие в объем - отрицательный поток.

Если между нашими сферами с произвольными радиуса­ми расположить замкнутую поверхность S₂, не охватывающую заряда q, то, как видно из рис. 1.21, каждая линия индукции будет пересекать эту поверхность дважды, один раз с положительной стороны (войдет в по­верхность), а другой раз с отрицательной стороны (выйдет из поверхности). Поэтому алгебраическая сумма линий ин­дукции, проходящих через замкнутую поверхность S₂, т. е. полный поток индукции N через эту поверхность, будет равна нулю.

Таким образом, для одного точечного заряда q полный поток индукции через любую замкнутую поверхность S будет равен

N= k₀*4πq, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;

N=0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности,

и результат этот от формы поверхности не зависит.

В соответствии с (5.14) в общем случае электрического поля, создаваемого произвольной системой точечных зарядов (см. рис. 1.22), полный поток индукции, проходящий через замкнутую поверхностьS, равен

(6.4)

где окончательное сум­мирование распростра­няется только на за­ряды, расположенные внутри этой поверхнос­ти. Отсюда получает­ся окончательная формулировка теоремы Гаусса: поток вектора электростатической индукции через любую замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме находящихся внутри этой поверхности зарядов, умноженной на 4πk₀

 

 

56. Потенциал электростатического поля. Потенциал электростатического поля. Важное свойство элек­тростатического поля заключается в том, что работа поля по пере­несению пробного заряда не зависит от траектории (или, что то же самое, работа поля вдоль замкнутой траектории равна нулю). Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. (Потенци­альное поле — это поле консервативных сил.

Опираясь на свойство потенциальности, можно определить потен­циальную энергию Wq пробного заряда q во внешнем электростати­ческом поле. Делается это так же, как в механике.

1. Определяем разность потенциальных энергий в различных точ­ках

где Аq(r1, r2} — работа поля по переносу заряда q из точки r1 в точку r2. Она равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным зна­ком.

2. Выбираем положение пробного заряда (точка г0), в котором по­тенциальная энергия равна нулю (выбор точки отсчета потенциальной энергии). Получаем выражение для потенциальной энергии пробного заряда в произвольной точке пространства

(обычно точку r0 выбирают на бесконечности).

Так как сила Fq, действующая на пробный заряд со стороны поля, пропорциональна q: Fq = qE, то и работа по любой траектории пропор­циональна q. Из формулы (8) следует, что Wq/q не зависит от величины пробного заряда q, т.е. является характеристикой поля в данной точке. Эту величину называют потенциалом поля и обозначают буквой φ:

Подставляя Wq - qφ в формулу (7), получаем выражение для работы поля над зарядом q:

Величину φ1- φ2 наз разностью потенциалов между точками.

 

57. Градиент. Связь потенциала с напряжённостью поля. Эквипотеци-е пов-ти. Градиент потенциал. Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q₀ на dl по произвол. траектории. dA=q₀E_ldl. В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии. dA= - q₀ dj = - П E_ldl = - dj 3) E_l= - (dj /dl). Проекция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению. 4) E_x= - (dj /dx) E_y= - (dj /dy) E_z= - (dj/dz)

_ _ _ _

E= - (i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+k (¶/¶z))´j

_

E= -grad Напряженность поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке. Градиент сколяр. фукции явл. вектором. Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала. Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.

Пусть точечный заряд q₀ перемещается в доль эквипотенцеала j =const, dl - на эквипотенцеали. dA=q₀E_ldl dA=0 т.к. Dj =0, E_l=Ecosa q₀Ecosa dl =0, q₀¹0 E¹0 dl¹0 cosa=0 a=90⁰

Связь между напряженностью и потенциалом.

1. Пусть известна напряженность поля во всем пространстве. Раз­ность потенциалов между произвольными точками А и В можно вы­числить, разбив соединяющую их линию на малые участки длиной ∆ l _i; (i = 1, 2,...) и применяя на каждом участке формулу (11):

φ_{A -} φ_B=E₁∆ 1 ₁cosα₁ +E₂∆ 1 ₂cosα₂+.....

2. Если, наоборот, известен потенциал во всех точках простран­ства, то, построив систему эквипотенциальных поверхностей, найдем направление Е в любой точке (вектор Е перпендикулярен эквипотенци­альным поверхностям и направлен в сторону уменьшения потенциала). Чтобы найти Е, надо применить формулу (11) к двум близким точкам на одной силовой линии: Е = |∆φ/∆x|. Видно, что как напряженность, так и потенциал содержат, каждый по отдельности, полную информа­цию об электростатическом поле.

Замечание. Можно вычислить проекцию Е_х на произвольную ось X, если известен потенциал на этой оси φ(х). Для этого надо применить формулу (10) к двум близким точкам на этой оси:

qE_х∆x=q(φ(х)- φ(x+∆x)) т.е. E_х=-φ’(х)

Например, в предыдущем примере можно найти напряженность поля на оси кольца не методом суперпозиции, а взяв производную (с обратным знаком) от потенциала.

 

Эквипотенциальные поверхности. Геометрическое место точек, обладающих одинаковым потенциалом φ, называют эквипотенци­альной поверхностью потенциала φ. В каждой точке эта поверхность перпендикулярна, вектору напряженности. (Работа поля равна нулю при любом смещении пробного заряда q вдоль поверхности (см. (10)). Значит, сила qE должна быть перпендикулярна к поверхности.)

Замечание. Поверхность проводника всегда представляет собой эквипотенциальную поверхность.

Разность потенциалов в однородном поле. Рассмотрим две точки А и В (АВ = l).

Если угол между векторами АВ и Е равен α (рис. 45), то

(ось х параллельна Е). Действительно, работа поля равна F_q l cosα = (qЕ) 1 соsα, а по фор­муле (10) она же равна q(φ₁- φ₂)- Сокращая q, получим формулу (11).

58. Проводники в электрич-ом поле. Напряж-ть поля у пов-ти пров-ка. Проводники в электростатическом поле. Проводником на­зывают вещество, в котором под действием электрического поля возникает упорядоченное движение заряженных частиц (вещество «проводит» ток). Для этого в веществе должно быть достаточное коли­чество заряженных частиц, способных перемещаться вдоль всего про­водника — их называют свободными зарядами. В металлах, например, носителями свободных зарядов являются электроны.

В электростатике рассматривается ситуация, когда все заряды уже пришли в равновесие, т.е. упорядоченное движение отсутствует. Это значит, что свободные заряды нашли такое положение, при котором ре­зультирующая напряженность во всех точках внутри проводника равна нулю. Это условие (назовем его условием равновесия свободных заря­дов) выполняется как в случае изолированного проводника, так и для проводника во внешнем поле. Оказывается, в любом случае существует единственное расположение свободных зарядов, удовлетворяющее усло­вию равновесия (это утверждение называют теоремой единственно­сти).

Исходя из этой теоремы, можно сразу сказать, что заряд, нанесен­ный на изолированный проводящий шар, равномерно распределится по его поверхности — в этом случае, как мы знаем, напряженность внутри шара равна нулю. Оказывается, это не случайность: можно доказать, что в состоянии равновесия свободные заряды всегда располагаются только на поверхности проводника. На этих поверхностных зарядах начинаются силовые линии поля, уходящие наружу перпендикулярно к поверхности (в противном случае началось бы движение свободных зарядов вдоль поверхности).

При внесении проводника в поле внешних зарядов свободные за­ряды проводника перераспределяются. Это явление называют элек­тростатической индукцией. После перераспределения внешнее поле внутри проводника оказывается полностью скомпенсировано полем сво­бодных зарядов. (Заряды, распределившиеся по поверхности провод­ника под действием внешнего поля, называют наведенными зарядами.)

Пример 4. Плоскую проводящую пластину, толщина кото­рой гораздо меньше ее поперечных размеррв, помещают в однород­ное электростатическое поле с напряженностью Ё перпендикулярно

линиям поля. Под действием поля заряды перераспределятся — на одной поверхности пластины появляется наведенный заряд с поверх­ностной плотностью (+ό), на другой — с поверхностной плотностью (-ό). Напряженность поля, создаваемого этими заряженными плоско­стями в пространстве между ними (т.е. внутри проводника), равна ό/ε0. Чтобы напряженность результирующего поля внутри проводника оказалась равной нулю, поле наведенных зарядов должно скомпенсировать внешнее поле: ό/ε0 = Е. Получаем, что поверхностная плотность наведенных зарядов равна ό= ε0Е.

3амечание. Число силовых линий, начинающихся (или заканчивающихся) на заряде, пропорционально его величине. Значит, можно ожидать, что напряженность поля вблизи поверхности провод­ника, пропорциональная густоте исходящих с поверхности линий, будет связана с поверхностной плотностью заряда на проводнике. Действи­тельно, в двух случаях — для сферы и плоской пластины

(только что рассмотренный пример) мы получили один и тот же ответ:

E= ό/ε0.

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: