 |
Обоснование цены товара фирмы-монополиста
|
|
|
|
Рассматривается фирма, производящая однородную продукцию с квадратичной функцией затрат 
положительные постоянные, 
выпуск продукции). Так как запасы продукции не предусматриваются и отсутствуют конкуренты, выпуск 
всегда устанавливается равным спросу. Спрос предполагается зависящим не только от цены 
но также от скорости 
ее изменения: 
Таким образом, прибыль фирмы является функцией двух переменных 
:
Целью фирмы является нахождение оптимальной функции, максимизирующей общую прибыль 
на конечном промежутке времени 
Этот промежуток предполагается достаточно коротким, чтобы функции спроса и затрат можно было считать фиксированными. Следовательно, задача состоит в отыскании функции на которой функция
| (19 |
достигает своего максимального значения. При этом должны выполняться условия
 (20
|
Из вариационного исчисления известно, что экстремум функционала (19) может достигаться лишь на решениях уравнения Эйлера
 (21
|
Так как
После приведения подобных членов уравнение принимает вид
Общее решение этого уравнения дается формулой
 (22
| |
| (23 |
а 
произвольные постоянные, определяемые условиями (20). Они имеют вид
 (24
|
Таким образом, если решение задачи существует, то оно дается формулами (22) -(24). Чтобы удостовериться, что полученная функция действительно является решением, нужно еще проверить выполнение для нее достаточных условий экстремума функционала (19). Здесь я на этом на останавливаюсь.
Обоснованные цены по уровню актива
Под активом 
понимается совокупность (в денежном выражении) всех принадлежащих данному предприятию материальных ценностей. Буду предполагать, что изменение пропорционально разности между предложением 
и спросом 
с коэффициентом пропорциональности 
Пусть, кроме того, изменение цены 
также пропорционально отклонению актива 
от некоторого фиксированного уровня 
с коэффициентом пропорциональности 
Следуя условиям задачи, можно записать
|
|
|
Здесь я учитываю, что предложение 
и спрос 
являются функциями цены 
Рассмотрю простейший случай линейной зависимости 
от цены 
Тогда система уравнений приобретает вид
труд производительность дифференциальный уравнение
 (25
|
Буду решать ее методом исключения. Дифференцируя второе уравнение и подставляя в первое, получу линейное уравнение с постоянными коэффициентами
корнями характеристического многочлена которого будут 
где 
Частное решение 
неоднородного уравнения легко вычислить методом неопределенных коэффициентов. Поэтому его общее решение запишу в виде
Тогда из второго уравнения (25) вычислю
Пусть начальная цена устанавливается равной 
(то есть 
). Тогда между ценой и уровнем актива выполняется соотношение
Очевидно, эта кривая описывает динамическое равновесие рассматриваемого процесса. Подставляя в это уравнение значения 
взятые в какой-то момент времени 
точно можно определить эту кривую (овал типа эллипса), отвечающую полученному значению 
Ясно, что, желая находиться в указанном равновесном состоянии, я должен определять значение цены с помощью уровня актива по формуле
Заключение
Я рассмотрел использование дифференциальных уравнений в экономике. Изучив несколько моделей, а именно рост общественного благосостояния (модель Золотаса), динамику потребителей (модель Реденура). Самой широкомасштабной моделью оказалась теория фирмы. В ней я изучил, каким образом применяются дифференциальные уравнения в процессе естественного роста выпуска продукции, рекламе, динамике рыночной цены и т.д. Таким образом, дифференциальные уравнения являются одним из часто применяемых видов вычислений в деятельности человека.
|
|
|
Список литературы
1. Жегалов В.И., Киясов С.Н. Приложения обыкновенных дифференциальных уравнений, Издательство казанского государственного университета, 2007, 179 с.
2. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. «Высшая школа». Москва 2005, 671 с.
3. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Москва 1989, 464 с.
4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва 2009, 259 с.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Москва 2007, 511 с.
|
|
|
