 |
Замена переменной в определенном интеграле
|
|
|
|
Контрольная работа
По дисциплине:
«Высшая математика»
Тема:
«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»
Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:
Пусть функция 
непрерывна на 
. Составим для нее определенный интеграл 
. Пусть для определенности 
на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием , которая ограничена линией .
Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования 
на 
, то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом 
.
Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен 
, а верхний может меняться, принимая значения , где 
. В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения , то есть 
. Если будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть 
– непрерывная функция, которую можно дифференцировать.
Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть 
или 
.
Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: 
, что, в свою очередь, приведет к приращению функции: 
. Так как 
, а 
, то приращение функции определяется выражением:
|
|
|
.
Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:
, где 
.
Составим отношение 
. Чтобы получить производную 
, перейдем в составленном отношении к пределу: 
. Так как , то при стремлении 
точка 
будет стремиться к . Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: .
Из доказанной теоремы следует, что – это первообразная от 
, следовательно, определенный интеграл 
также является первообразной от , и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.
Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.
Теорема. Если какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула: 
.
В предыдущем пункте было показано, что – это первообразная от функции . Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если какая-то другая первообразная от той же функции , то 
.
Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную 
можно вычислить. Действительно, так как может принимать любые значения между и 
(п. 1), то пусть 
. Тогда: 
. Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, 
. Значит,
.
Положим теперь, что 
, тогда
.
Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:
|
|
|
.
Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой .
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле
При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.
Теорема. Если в определенном интеграле 
, где 
непрерывна на 
, сделать замену переменной 
и при этом:
1) 
, 
;
2) 
и 
непрерывны на 
;
3) 
непрерывна на и при изменении 
от 
до 
не выходит за пределы отрезка 
,
то 
.
Пусть 
– какая-то первообразная от 
, тогда 
. Согласно формуле Ньютона – Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл: 
. Но, как было показано в п. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда 
. В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:
.
У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:
,
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.
|
|
|
12 |
