 |
Связь обобщенной синхронизации и синхронизации,
|
|
|
|
Индуцированной шумом
Режим обобщенной синхронизации означает, что между состояниями взаимодействующих однонапрвленно связанных ведущего 
и ведомого 
хаотических осцилляторов (с непрерывным или дискретным временем), существует такая функциональная зависимость 
, что после завершения переходного процесса устанавливается функциональное соотношение 
.
Сам вид данной зависимости (гладкая или фрактальная) может быть достаточно сложным, а процедура ее нахождения весьма нетривиальна. Выделяют сильную и слабую обобщенную синхронизацию. Следует отметить, что в качестве взаимодействующих осцилляторов могут выступать две разные динамические системы, в том числе и с различной размерностью фазового пространства.
Очевидно, что режим обобщенной хаотической синхронизации и режим синхронизации, индуцированной шумом, несмотря на то, что традиционно считаются разными явлениями, на самом деле обусловлены проявлениями одного и того же механизма и вызваны одной и той же причиной – подавлением собственных хаотических колебаний с помощью дополнительного введения диссипации (либо с помощью ненулевого среднего значения шума в случае индуцированной шумом синхронизации, либо с помощью дополнительного диссипативного слагаемого в случае режима обобщенной синхронизации, либо смещением изображающей точки системы в области фазового пространства с сильной диссипацией).
Численное моделирование
Описание рассмотренных систем
1. Логистическое отображение под воздействием шума:
[3], где 
(1)
Значение управляющего параметра 
, 
- параметр связи.
Случайная величина 
подчиняется нормальному распределению 
, где 
, 
.
|
|
|
Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:
2. Одномерное отображение вида:
[4], где 
(2)
Значение управляющего параметра 
, - параметр связи
Случайная величина 
подчиняется нормальному распределению 
, где, 
.
Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:
Результаты, полученные с помощью созданной программы
1. Для отображения 
, где 
при 
Видно, что в случае малого параметра связи (
) обе системы в один момент дискретного времени принимают разные значения (точки, характеризующие состояние систем, распределены по плоскости (y,z)), а следовательно не существует функциональной зависимости между случайным процессом и состоянием динамической системы.
С увеличением параметра связи 
: точки соответствующие состояниям систем, лежаться на диагональ y=z, что свидетельствует о наличии синхронного поведения в системе.
3. Для отображения 
, где 
, при 
получаем аналогичные результаты: при 
синхронизации не наблюдается:
Но с увеличением параметра связи ε=0.2 появляется функциональная зависимость, что свидетельствует об установлении режима индуцированной шумом синхронизации.
С помощью данной программы было найдено, что порог синхронизации индуцированной шумом:
-для первого отображения 
-для второго отображения 
Ляпуновские экспоненты
Как уже было упомянуто ранее, установление синхронной динамики двух систем с общим источником шума возможно лишь в том случае, когда ляпуновские экспоненты оказываются отрицательными.
Для отображений ляпуновский показатель рассчитывается по формуле:
[5],
где F(x) – функция, задающая отображение.
Для рассматриваемых систем зависимость ляпуновской экспоненты от управляющего параметра 
имеет вид:
1. 
, где 
2. 
, где 
|
|
|
Видно, что для логистического отображения (1) ляпуновская экспонента становится отрицательной при e = 1.165, для отображения (2) – при e = 1.151.Таким образом, результаты, полученные при помощи обоих методов диагностики, оказываются приблизительно одинаковыми.
Выводы
Было изучено явление индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем. Для диагностики синхронного режима производилось непосредственное сравнение векторов состояния идентичных систем, на которые воздействовал один и тот же источник шума, а также производился расчет условных ляпуновских экспонент. Рассмотрена взаимосвязь индуцированной шумом синхронизации с обобщенной синхронизацией. Была создана программа, иллюстрирующая явление индуцированной шумом синхронизации. С помощью этой программы рассмотрены два отображения. Также для этих отображений получены зависимости ляпуновской экспоненты от управляющего параметра. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами работ [1-3].
Список литературы
1. А.А. Короновский, О.И. Москаленко, А.Е. Храмов “О механизмах, приводящих к установлению режима обощенной синхронизации”, ЖТФ, 76, 2 (2006) 1-9.
2. Raul Toral, Claudio R. Mirasso, E. Hernandez-Garcia and Oreste Piro “Analytical and Numerical Studies of Noise-induced Synchronization of Chaotic Systems”, CHAOS, 11, 3 (2001) 665-673.
3. A.E. Hramov, A.A. Koronovskii, O.I. Moskalenko “Are generalized synchronization a noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators”, Phys. Lett. A, 354, 5-6 (2006) 423-427.
4. С.П. Кузнецов Динамический хаос
5. Amos Martian, Jayanth R. Banavar “Chaos, Noise, and Synchronization”, Phys. Rev. letters, volume 72, number 10 (1994) 1451-1454
[1] Отображение взято из работы [1]
[2] Отображение взято из работы [2]
[3] Отображение взято из работы [1]
[4] Отображение взято из работы [2]
[5] Взято из [4]
|
|
|
