 |
Геометрический смысл тригонометрических функций
|
|
|
|
Тригонометрия
Наталья Сергеевна Шабрыкина
Углы и их измерение
Пусть даны два совпадающих луча 
- подвижный и 
- неподвижный. И пусть луч поворачиваясь в плоскости вокруг точки 
, совершит некоторый поворот. Такой поворот, при котором луч впервые опять совпадет с лучом , называется полным оборотом.
Пусть луч совершил некоторый поворот, тогда говорят, что он задает угол 
, соответствующий этому повороту. Другим определением угла является геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки , которая называется вершиной угла. Луч носит название начала отсчета и обычно направлен горизонтально вправо.
Для измерения углов применяют две меры.
Градусная мера угла
Поворот, равный 
полного оборота против часовой стрелки задает угол в один градус. Различают также следующие доли градуса: 1 минута = 1’ = 1/60 градуса; 1 секунда = 1’’ = 1/60 минуты = 1/3600 градуса.
Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота – прямым.
Радианная мера угла
Рассмотрим два луча - подвижный и - неподвижный. Выберем на них точки 
и 
, которые в начальный момент времени совпадают. При повороте точка будет описывать окружность радиуса 
. Повернем подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние, равное радиусу: 
, тогда луч составит с лучом угол в один радиан.
Если повернуть подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние 
, тогда луч составит с лучом угол в радиан.
При совершение полного оборота точка проходит расстояние, равное длине окружности 
, значит полный оборот соответствует углу 
радиан.
Из вышесказанного нетрудно установить, что радиан соответствует 180о. Таким образом, 
и 
.
|
|
|
Соответствие между углами и числовым рядом
Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны 
- это число, равное 3,14… с другой стороны это угол, соответствующий 180о. Таким образом, нетрудно установить взаимооднозначное соответствие между углами от 0 до 360о и действительными числами от 0 до 
. Для того, чтобы понять, как поставить в соответствие углы числам, превышающим 
, следует вспомнить, что совершив полный оборот подвижный луч возвращается в исходное положение, т.е. любым углам, различающимся на или кратное им будет соответствовать одно и то же взаимное положение подвижного или неподвижного лучей. Отрицательные же углы соответствуют повороту подвижного луча против часовой стрелки. Таким образом, любое действительное число представляет собой радианную меру какого-либо угла и наоборот, любому углу можно поставить в соответствие действительное число.
Тригонометрические функции
Определения
Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный 
(где точка 
) и подвижный 
(где точка 
). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол .
Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется синусом угла : 
.
Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется косинусом угла : 
.
Таким образом, точка 
, являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол , имеет координаты 
.
Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу: 
, 
, 
.
Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу: 
, 
, .
|
|
|
Геометрический смысл тригонометрических функций
Геометрический смысл синуса и косинуса на тригонометрической окружности понятен из определения: это абсцисса и ординат точки пересечения подвижного радиуса, составляющего угол с неподвижным радиусом, и тригонометрической окружности. То есть 
, 
.
Рассмотрим теперь геометрический смысл тангенса и котангенса. Треугольники 
подобен 
по трем углам (
, 
), тогда имеет место отношение 
. С другой стороны, в 
, следовательно 
.
Также 
подобен по трем углам (
, 
), тогда имеет место отношение 
. С другой стороны, в 
, следовательно 
.
С учетом геометрического смысла тангенса и котангенса вводят понятие оси тангенсов и оси котангенсов.
Осями тангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке 
и направлена вверх, вторая касается окружности в точке 
и направлена вниз.
Осями котангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке 
и направлена вправо, вторая касается окружности в точке 
и направлена влево.
|
|
|
