Метод измерений и описание аппаратуры

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

 

Кафедра «Физика»

С.М. Кокин, И.А. Лямзова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Методические указания к лабораторной работе № 64 по физике

 

МОСКВА - 2012

 

ФГБ ОУ ВПО

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

 

Кафедра «Физика»

 

 

С.М. Кокин, И.А. Лямзова

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО

МАЯТНИКОВ

 

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов ИУИТ, ИПСС и ИТТСУ

 

 

МОСКВА - 2012

УДК 530.1 (076)

К-55

 

Кокин С.М., Лямзова И.А. Определение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников. Методические указания к лабораторной работе № 64 по физике. – М.: МИИТ, 2012. – 16 с.

 

Методические указания к лабораторной работе № 64 соответствуют программе и учебным планам по курсу общей физики (раздел «Колебания и волны»).

Методические указания предназначены для студентов ИУИТ, ИПСС и ИТТСУ.

 

 

© ФГБ ОУ ВПО

«Московский государственный

университет путей сообщения»,

Работа 64

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

 

Цель работы. Изучение свободных незатухающих гармонических колебаний на примере математического и физического маятников; измерение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: лабораторный стенд с математическим и физическим маятниками, оптоэлектронный датчик, подключённый к компьютеру, измерительная линейка.

 

Введение

 

В настоящей работе свободные незатухающие гармонические колебания изучаются на примере математического и физического маятников[1].

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная не невесомой нерастяжимой нити, совершающая малые колебания под действием силы тяжести около положения равновесия. В настоящей работе роль материальной точки исполняет металлический шарик, размеры которого много меньше длины нити (возможное удлинение нити при движении шарика также пренебрежимо мало по сравнению с её длиной). Масса нити намного меньше массы шарика.

Физический маятник – твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. В настоящей работе используется оборотный физический маятник, способный колебаться относительно одной из двух осей (в зависимости от способа подвеса).

Процессы, происходящие с выведенными из состояния равновесия математическим и физическим маятниками, опишем с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для этого рассмотрим моменты всех сил, действующих на маятники.

На математический маятник (рис. 1а) действуют: сила тяжести и сила натяжения нити , однако вращающий момент создаёт только

j

Y   X Z     j

а) б)

Рис. 1

сила тяжести. На физический маятник (рис. 1б) также действуют две силы: и сила реакции опоры , но вращающий момент тоже создаёт только сила тяжести[2].

Таким образом, учитывая, что масса и размеры маятников в процессе колебаний не меняются, формулы основного закона динамики вращательного движения для обоих маятников можно записать в одинаковом виде:

= I , (1)

где – момент силы тяжести, I – момент инерции маятника относительно оси вращения (она проходит через точку подвеса: относительно неё и происходят колебания), – угловое ускорение маятника.

Радиус-вектором, соединяющим ось вращения с точкой приложения силы тяжести, в случае математического маятника является вектор , по величине равный длине нити, а в случае физического маятника – вектор , длина которого равна расстоянию от оси вращения до центра тяжести маятника. Если учесть, что момент инерции математического маятника (материальной точки) относительно этой же оси, согласно определению, вычисляется, как I = ml _М², то (см. рис. 1):

- для математического маятника

[ ] = ml _М² , (2)

где │[ ]│ = l _М mg × sin j;

- для физического маятника

[ ] = I , (3)

где │[ ]│ = dmg × sin j.

Вектор углового ускорения направлен туда же, куда и вектор момента силы тяжести , то есть, как и все аксиальные вектора, вдоль оси вращения (на рис. 1а – вдоль оси X, на рис. 1б – на нас). Углу отклонения соответствует вектор , такой, что │ │ = j, он всегда направлен в сторону, противоположную и , так как момент силы тяжести всегда стремится уменьшить угол отклонения маятника. Учитывая антипараллельность векторов и , формулы (2) и (3) можно переписать для их проекций:

- для математического маятника: - l _М mg ×j = ml _М²e, или, с учётом того, что, по определению, e = ,

+ j = 0; (4)

- для физического маятника - dmg ×j = I e, или, с учётом того, что, по определению, e = ,

+ j = 0. (5)

Очевидно, что полученные дифференциальные уравнения имеют решение одного и того же вида, описывающее собственные незатухающие колебания. Для этого достаточно обозначить множитель, стоящий перед вторым слагаемым, символом w₀², и тогда (в этом можно убедиться простой подстановкой) решение приобретает вид:

 

j = Asin (w₀ t + a), (6)

 

где A – максимальное значение угла j отклонения (амплитуда), которое должно быть достаточно малым (A £ 5° ¸ 8°), w₀ t + a – фаза колебания (измеряется в радианах), a – начальная фаза (фаза в момент времени t = 0), w₀ – циклическая частота колебаний, измеряется в радианах в секунду (w₀ = 2pn, где n – линейная частота колебаний, которая измеряется в герцах, 1 Гц = 1 с^-1). Согласно формуле (4) для математического маятника

w₀ = , (7)

а для физического маятника, согласно формуле (5),

w₀ = , (8)

Но поскольку циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением

w = , (9)

 

то это означает, что период колебаний математического маятника

T _М = 2p , (10)

а период колебаний физического маятника

T _Ф = 2p . (11)

 

Формулы (10) и (11), позволяют вычислить значение ускорения свободного падения g, если известны T _М и l или T _Ф, m, d, I:

g = , (12)

или

g = , (13)

L C B 1   d 1 Ц     d 2 D     B 2

Рис. 2

Но если измерить параметры математического маятника T _М и l на практике достаточно легко, то воспользоваться для определения ускорения свободного падения формулой (13) совсем не так просто, поскольку для этого необходимо знать достаточно точные значения момента инерции I и массы m физического маятника, а также положение его центра тяжести (расстояние d). Однако существует устройство, называемое оборотным физическим маятником, при использовании которого задача определения g сводится к измерению всего лишь двух параметров: периода колебаний T _ОБ и некоторого расстояния l _ОБ между элементами конструкции этого маятника.

Оборотный маятник устроен следующим образом (рис. 2). На стержне L закрепляются два груза C и D. Маятник снабжён двумя призмами B ₁ и B ₂, изготовленными из твёрдого материала и расположенными по обе стороны от центра тяжести (точки Ц) системы. При подвешивании маятника с опорой на вершину одной или другой призмы, он приобретает возможность совершать колебания.

Положение грузов C и D регулируется таким образом, чтобы период колебаний маятника при установке на одной призме равнялся периоду его колебаний на другой призме.

Выведем формулу для расчёта периода колебаний оборотного маятника. Согласно теореме Штейнера момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I ₀ этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр масс и произведения m массы тела на квадрат расстояния d между этими осями:

 

I = I ₀ + md ². (14)

 

Если маятник, изображённый на рис. 2, подвесить на призме B ₁, то, согласно формулам (11) и (14)[3], период его малых колебаний окажется равным

T ₁ = 2p . (15)

 

При подвешивании на призме B ₂ период колебаний описывается формулой

T ₂ = 2p . (16)

Но поскольку грузы расположены так, что T ₁ = T ₂, то

 

2p = 2p , или = .

 

Отсюда: d ₂(I ₀ + md ₁²) = d ₁(I ₀ + md ₂²), или I ₀(d ₂ - d ₁) = md ₁ d ₂(d ₂ - d ₁),

то есть (сокращая при d ₁ ¹ d ₂):

I ₀ = md ₁ d ₂. (17)

 

Подставив это выражение в уравнение (15) или (16) и введя обозначение l _ОБ = d ₁ + d ₂, получим, что период T _ОБ = T ₁ = T ₂ свободных колебаний оборотного маятника может быть рассчитан по формуле:

 

T _ОБ = 2p . (18)

 

Расстояние l _ОБ между вершинами призм (осями колебаний) называется приведённой длиной оборотного маятника. Таким образом, для определения g оказывается достаточно измерить период колебаний этого маятника и его приведённую длину[4]:

 

g = , (19)

Метод измерений и описание аппаратуры

 

Рис. 3

2 3

Лабораторная установка, включающая математический и оборотный маятники, изображена на рис. 3. Здесь 1 – оборотный физический маятник; 2 – математический маятник; 3 – оптический датчик; 4 – экран персонального компьютера. Оптический датчик размещают таким образом, чтобы качающиеся маятники (шарик, или несущий стержень оборотного маятника) пересекали оптическую ось датчика. При запуске измерений система фиксирует импульсы перекрытия оси оптического датчика и отображает эти импульсы на экране. Период колебаний определяется по интервалу между передними (или задними) фронтами импульсов, соответствующих проходу маятника в одном и том же направлении. Соответствующее время указывается на экране в верхней строчке панели управления.

Кроме времени, в рамках работы необходимо с помощью линейки измерить длину математического маятника и приведённую длину оборотного маятника.

Для вычисления ускорения свободного падения используются формулы (12) и (19).

 

 

Порядок выполнения работы

 

1. Включите компьютер, запустите программу «Физика - Практикум» (рис. 4). На возникшей после загрузки программы панели устройств выберите тему лабораторной работы: «Измерение ускорения свободного падения» и нажмите кнопку «ОК». На экране появляется панель управления: слева вверху в столбце «№» в квадратике напротив «Названия» С101 поставьте «галочку» (рис. 5); если имеются названия других работ, «галочки» в их квадратиках снимите.

 

Кнопка запуска программы

Выбор лабораторной работы

Рис. 4

2.

«Пуск» «Стоп» Сигнал с оптодатчика Время Отметка времени   Рис. 5

«Галочка»

Поместите оптический датчик на пути качания математического маятника. Качните маятник и запустите измерения, нажав зелёную кнопку «Пуск» на экранной панели управления (рис. 5). Убедитесь, что при пересечении маятником оптической оси датчика на экране появляются импульсы. Угол отклонения маятника от вертикали должен быть малым!

3. После записи 20 – 25 пересечений оптической оси датчика остановите измерения, нажав красную кнопку «Стоп» на экранной панели управления (рис. 5).

 

4. Проведите считывание полученных данных. Для этого:

- выделите область из 10 импульсов (соответствующих проходу маятника в одном направлении) для её детального просмотра с увеличенным масштабом (Alt + кнопка мыши);

- измерьте время t_i пересечения маятником в одном и том же направлении оси оптического датчикапо задним фронтам импульсов путём постановки (нажатием клавиш мыши) отметок на соответствующие фронты – см. рис. 5. Время удобно устанавливать так, чтобы фронту первого импульса соответствовало t = 0.

- Процедуру повторите 5 раз, убирая и вновь устанавливая на место оптический датчик; результаты измерений запишите в таблицу 2. По полученным данным рассчитайте 5 значений периода колебаний:

T _{М i} = t_{i +1} - t_i,

 

и его среднее значение T _{М СР}, сохранив такое же число знаков после запятой, которое соответствует измерениям t_i. Результаты вычислений T _{М i} и T _{М СР} запишите в таблицу 1.

 

Таблица 1

№ измерения
ti, с
T М i, с
T М СР = с	l M = м

 

5. Пользуясь линейкой, измерьте длину l _M математического маятника (от центра шарика до точки подвеса). Данные измерения занесите в таблицу 1.

Измерения с математическим маятником закончены.

 

6. Установите оптический датчик на пути качания физического маятника. Качните маятник, запустите измерения (нажав зелёную кнопку «Пуск». Убедитесь, что при пересечении маятником оптической оси датчика на экране появляются импульсы. Угол отклонения маятника от вертикали должен быть малым! Проведите предварительные измерения времени 10 колебаний маятника (см. пункт 5). Переверните маятник и вновь проведите измерения. Убедитесь, что при обоих положениях маятника время десяти колебаний одинаково, иначе положение грузов на стержне нужно изменить. Дальнейшие измерения можно выполнять, только если время десяти колебаний одинаково (или отличается не более, чем на 0,1 с). Регулировка положения грузов проводится преподавателем!

 

7. Проведите измерения по пунктам 2 – 4 для оборотного физического маятника. Результаты измерений значений времени t_i, периодов колебаний T _{ОБ i} и среднего значения периода T _{ОБ СР} запишите в таблицу 2.

 

Таблица 2

№ измерения
ti, с
T ОБ i, с
T ОБ СР = с	l ОБ = м

 

8. Пользуясь линейкой, измерьте приведённую длину l _ОБоборотного физического маятника. Данные измерений запишите в табл. 2.

 

9. По окончании измерений выйдите из программы и выключите компьютер.

 

 

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: