Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Деление отрезка в заданном отношении.




Раздел 1. Метод координат на плоскости и в пространстве

Понятие об аналитической геометрии

 

В элементарной (школьной) геометрии изучаются свойства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль играют построения, вычисления же, хотя практическое значение их и велико, в теории играют подчиненную, вспомогательную роль. Выбор того или иного построения обычно требует изобретательности. Это и составляет главную трудность при решении задач методами элементарной геометрии.

Аналитическая геометрия возникла из потребности создать единообразные средства для решения геометрических задач с тем, чтобы применить их изучению важных для практики кривых линий различной формы.

Эта цель была достигнута созданием координатного метода. В нем ведущую роль играют вычисления, построения же имеют вспомогательное значение. Вследствие этого решение задач методами аналитической геометрии требует гораздо меньшей изобретательности.

Создание координатного метода было подготовлено трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония (2-3 в. до н.э.). Систематическое развитие координатный метод получил в первой половине XVII века в работах П. Ферма и Р. Декарта. Они, однако, рассматривали только плоские линии. К систематическому изучению пространственных линий и поверхностей координатный метод был впервые применен Л. Эйлером (1707-1783).

 

Прямоугольная система координат на плоскости

Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами – действительными числами при помощи системы координат.

Две взаимно-перпендикулярные оси и , имеющие общее начало и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

Ось называется осью абсцисс, ось называется осью ординат. Обе вместе они называются осями координат.

Точка пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси называется координатной плоскостью и обозначается .

Пусть – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры и на оси и . Прямоугольными координатами и точки будем называть соответственно величины отрезков и : Знаки чисел и указывают на какой (положительной или отрицательной) полуоси расположена соответствующая точка.

Координата точки называется ее абсциссой, координата точки ординатой.

Тот факт, что точка имеет координаты и , символически обозначают: . При этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй – ординату. Начало координат имеет координаты .

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке на плоскости соответствует единственная пара чисел – ее прямоугольные координаты. И, обратно, каждой паре чисел соответствует, и притом одна, точка плоскости такая, что ее абсцисса равна , а ордината – .

Итак, введение прямоугольной системы координат на плоскости позволяет установить однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, что дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Оси координат разбивают плоскость на 4 части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими числами I, II, III, IV.

 

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

Расстояние между двумя точками.

Теорема 1. Для любых двух точек и плоскости расстояние между ними выражается формулой:

. (1.1)

Например, если даны точки и , то расстояние между ними:

.

Площадь треугольника.

Теорема 2. Для любых точек , не лежащих на одной прямой, площадь треугольника выражается формулой:

. (1.2)

Например, найдем площадь треугольника, образованного точками , и .

.

Замечание. Если площадь треугольника равна нулю, это означает, что точки лежат на одной прямой.

Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть – любая точка этого отрезка, отличная от точек концов. Число , определенное равенством , называется отношением, в котором точка делит отрезок .

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек и найти координаты точки .

Теорема 3. Если точка делит отрезок в отношении , то координаты этой точки определяются формулами: (1.3), где – координаты точки , – координаты точки .

Следствие: Если – середина отрезка , где и , то (1.4) (т.к. ).

Например. Даны точки и . Найти координаты точки , которая в два раза ближе к , чем к

Решение: Искомая точка делит отрезок в отношении так как , тогда , , получили .

 

Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки , называемой полюсом, и исходящего из нее луча полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть – произвольная точка плоскости. Пусть – расстояние от точки до точки ; – угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом .

Полярными координатами точки называются числа и . При этом число считается первой координатой и называется полярным радиусом, число – второй координатой и называется полярным углом.

Обозначается . Полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение: . Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах: . Однако в ряде случаев приходится определять углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...