 |
Расстояние от точки до плоскости
|
|
|
|
Параллельный перенос
Если перенести начало координат в точку 
и не менять направление осей, то связь между старыми координатами 
, 
и новыми 
, 
одной и той же точки выражается формулами:
или 
Пример
Установить, что данное уравнение определяет эллипс. Найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет.
Решение:
Перегруппируем слагаемые 
. Вынесем коэффициент при старших степенях за скобку 
.
В каждой из полученных скобок добавим слагаемые, так чтобы получился полный квадрат, воспользовавшись формулами сокращенного умножения 
и 
.
В нашем случае 
.
Вынесем за скобки слагаемые, не входящие в полный квадрат
.
Применим формулы сокращенного умножения
. Перенесем свободный член в правую часть.
. Разделим обе части уравнения на 48.
. Произведя сокращение в дробях, получим
.
Введем новые обозначения 
Получим 
. Это каноническое уравнение эллипса в новой системе координат, полученной параллельным переносом старой системы координат, а именно оси 
на одну единицу вправо, оси 
на две единицы вниз. Новый центр находится в точке 
.
Полуоси эллипса равны соответственно 
и 
, то есть 
, значит, фокусы располагаются на оси ординат. Расстояние между фокусами 
.
Эксцентриситет эллипса равен
.
Пример
Установить, что данное уравнение определяет гиперболу. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет.
Решение:
Перегруппируем слагаемые 
. Вынесем коэффициент при старших степенях за скобку 
.
В каждой из полученных скобок добавим слагаемые, так чтобы получился полный квадрат, воспользовавшись формулами сокращенного умножения и .
В нашем случае 
.
Вынесем за скобки слагаемые, не входящие в полный квадрат
|
|
|
.
Применим формулы сокращенного умножения
Перенесем свободный член в правую часть.
Разделим обе части уравнения на (–144).
. Произведя сокращение в дробях, получим
.
Введем новые обозначения 
Получим 
. Это каноническое уравнение гиперболы в новой системе координат, полученной параллельным переносом старой системы координат, а именно оси на две единицы вправо, оси на одну единицу вниз. Новый центр находится в точке 
.
Полуоси гиперболы равны соответственно 
и . Так как знак минус стоит перед 
, значит, ось есть мнимая ось, а ось – действительная ось, значит, фокусы располагаются на оси ординат. Расстояние между фокусами 
.
Эксцентриситет гиперболы равен 
.
 |
Плоскость
Пусть в пространстве задана некоторая плоскость P и декартова система координат.
1. Положение плоскости в пространстве однозначно определено, если задана некоторая точка 
, принадлежащая плоскости Р, и некоторый вектор 
, перпендикулярный этой плоскости (рис. 20). Пусть 
– произвольная точка плоскости. Тогда вектор 
будет перпендикулярен вектору 
и, следовательно, 
Так как 
, , то получим уравнение
Рис. 20
. (1)
Уравнение (1) есть уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору .
Заметим, что вектор называется нормальным вектором плоскости Р.
2. Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить: 
, то получим общее уравнение плоскости:
. (2)
Пусть заданы плоскости P 1: 
и P 2: 
. Тогда для того чтобы P 1|| P 2 (P 1^ P 2), необходимо и достаточно, чтобы 
.
3. Положение плоскости в пространстве также однозначно определено, если заданы три точки 
, 
, 
, принадлежащие плоскости P и не лежащие на одной прямой. Пусть 
− произвольная точка плоскости. Тогда векторы 
, 
, 
компланарны и 
.
Так как 
, 
, 
, то последнюю формулу можно переписать в виде
. (3)
Уравнение (3) есть уравнение плоскости, проходящей через три известные точки , , .
Пример
|
|
|
Найти угол между плоскостями P и Q, заданными уравнениями 
и 
.
Решение:
Угол между плоскостями P и Q равен углу между нормальными векторами этих плоскостей, т.е. между векторами 
, 
.
Находим:
,
.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть в пространстве заданы точка 
и плоскость Q: 
. Тогда расстояние от точки M до плоскости Q (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость Q) определяется по формуле:
. (4)
Пример
В пространстве даны четыре точки: 
, 
, 
, 
. Найти а) уравнение плоскости Q, проходящей через точки M, N, K; б) уравнение плоскости R, проходящей через точку D параллельно плоскости Q; в) расстояние от точки D до плоскости Q.
Решение:
а) Воспользуемся уравнением (3). Подставим в (3) координаты точек M, N, K:
; 
;
;
;
;
;
− уравнение плоскости Q.
б) Так как искомая плоскость R параллельна данной плоскости Q, то R и Q имеют один и тот же нормальный вектор; в данном случае это вектор с координатами {40; 19; 4}. Кроме того, известно, что плоскость R проходит через точку D (1; 1; 1). Поэтому удобно записать уравнение плоскости R в виде (1): 
.
Раскрыв скобки, запишем уравнение плоскости R в общем виде:
.
в) Из формулы (4) следует, что расстояние от точки D до плоскости Q равно: 
.
|
|
|
