 |
Векторная величина в средней школе.
|
|
|
|
Большое место в школьном курсе физике занимают векторные величины. Понятие векторной величины тесно связано с понятием вектора, но не тождественно ему. Векторная величина характеризует какое-либо свойство тела, явления, процесса, существующие реально; её можно измерить. Понятия «измерение вектора» не существует.
Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок является удобным наглядным изображением векторной величины. Операцию построения направленного отрезка MN, для которого 
равен 
, можно назвать откладыванием какой-либо векторной величины от точки М [7].
При определении многих физических величин (а также при записях некоторых законов) подчеркивается и векторный характер, в то время как расчет численных значений этих величин выполняется в скалярной форме. В связи с этим возникает необходимость разъяснения учащимся основных приемов и правил перехода от уравнений, записанных в векторной форме, к уравнениям в скалярной форме.
Первые затруднения возникают при записи уравнения кинематики прямолинейного равнопеременного движения. В этом случае [9] для решения основной задачи механики достаточно оперировать двумя уравнениями: уравнением для мгновенной скорости
и уравнением для координаты
,
где х0 – координата начальной точки, V0x и ax – проекции векторов 
на ось Х, которая параллельна траектории движения.
Для решения многих задач достаточно знать только численное значение мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её проекции на ось х, т.е.
|
|
|
.
Таким образом, основная задача механики решается с помощью двух независимых уравнений:
.
Если начало координат совпадает с начальной точкой движения уравнения упрощаются и принимают вид:
.
Кроме уравнения координаты вводится также формула для вычисления пути (путь – скалярная величина, равная длине траектории):
.
Четкое представление о величинах, входящих в уравнения мгновенной скорости и координаты, и об их изменениях с течением времени складывается у учащихся при вычерчивании графиков.
На рисунке 2.4 показано изменения проекций векторов 
, а также координаты х тела, брошенного вертикально вверх.
Рис 2.4 и 2.5
На рисунке 2.5 изображены графики изменения ускорения и скорости тела по модулю, а также график его пути [7].
Уравнения динамики первоначально также даются в векторной форме. И естественно возникает необходимость перехода к записи их в скалярной форме.
Второй закон Ньютона учащиеся выражают следующим образом [14]: 
, где 
- равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В некоторых учебных пособиях это же уравнение записывается так:
.
Для перехода к скалярной форме записи можно рекомендовать следующий прем. Допустим, что к телу приложены две силы 
и 
. Тогда телу сообщается ускорение , направленное в сторону равнодействующей (рис.2.6):
Рис 2.6.
Если спроецировать вектора и на произвольную ось х, то, учитывая пропорциональность отрезков, отсеченных на сторонах угла параллельными прямыми, можно записать:
.
Откуда 
, где 
- проекция равнодействующей на ось х.
Из рисунка 2.6 также видно, что проекция равнодействующей равно сумме проекций приложенных сил, то есть
,
следовательно, 
.
Последнее уравнение выражает очень важное следствие: сумма проекций сил, приложенных к телу, по любой оси равна произведению массы тела на проекцию ускорения по этой же оси.
В практике средней школы встречаются физические задачи, которые сводятся к нахождению решений системы уравнений, из которых одни есть уравнения динамики, а другие – кинематики. Если в задаче рассматривается равноускоренное движение, то её решение не зависит от того, проекции или модули векторов входят в уравнения кинематики. Если же в задаче рассматривается равнозамедленное движение, то необходимо предварительно выразить все уравнения системы через однородные величины, то есть через модули соответствующих векторов. В этом случае формула скорости 
имеет вид 
, формула пути 
будет, а формула 
выразится так 
.
|
|
|
Несоблюдение этого правила часто приводит к ошибочным решениям. Рассмотрим это на примере следующей задачи (задача №4 из упр. 17 учебника для 9 класса):
«Конькобежец, масса которого равна 50 кг, после разгона скользит по льду, пройдя до остановки 40 м. Сила трения постоянна и равна 10 Н. Сколько времени продолжается торможение?»
рис 2.7
Выполнив чертеж, обращаем внимание учащихся на то, что к конькобежцу приложены три силы: сила тяжести 
, сила реакции 
(направленная нормально поверхности движения конькобежца) и сила сопротивления 
. Рассмотрим проекции этих сил на вертикальную ось y и запишем соответствующее уравнение динамики:
, так как 
поскольку 
, то 
.
Между тем для проекций на ось х уравнение динамики имеет вид:
откуда (поскольку 
и 
) получим:
, или 
(где 
и 
- модули векторов 
и ).
Искомую величину - время – можно определить из уравнений кинематики:
Если теперь выразить проекции векторов через их модули, то получим:
Откуда находим, что 
, или 
. Поскольку 
, то 
.
Обычно учащиеся поступают по другому: они записывают уравнения согласно учебнику так:
Откуда получают 
или 
. Если заранее не сделать разъяснений, то ученики считают, что величины, входящие в формулы, - модули соответствующих векторов и тогда знак минус вызывает у них недоумение. Если же произвести дальнейшее преобразования и подставить в последнюю формулу 
, то получиться 
.
Этот результат вызывает у школьников ещё большее неумение, так как им не ясно, как избавиться от знака минус.
В данной задаче легко найти выход из затруднительного положения. Однако в более сложных задачах можно не заметить этого и получить неправильный ответ.
|
|
|
Поэтому имеет смысл на первом этапе решения по динамике рассматривать только случаи равноускоренного движения тел, а затем, после приобретения учащимися прочных знаний навыков, осторожно перейти к анализу и решению задач на равнозамедленное движение.
|
|
|
