Нахождение оригинала по изображению
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 При расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображение функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу – находить функции (оригиналы) по их изображениям. Существуют следующие способы решения этой проблемы: 1. Использование обратного преобразования Лапласа , (4.35) которое представляет собой решение интегрального уравнения (4.27) относительно неизвестной функции f (t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (4.35) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного p, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F (p). Такой способ в прикладных задачах электротехники не используется. 2. Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду. 3. Использование теоремы о вычетах или теоремы разложения. Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирхгофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал. Теорема разложения имеет две модификации в зависимости от операторного изображения искомой величины:
1) · = · , (4.31) где n – порядок цепи, pi – простые корни характеристического уравнения N (p) = 0; . 2) · = · , (4.32) где pi – корни характеристического уравнения F 3(p) = 0. В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (4.32) соответствует сигналам, имеющим принужденную составляющую. Если уравнение F 2(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни и , то достаточно вычислить слагаемое сумм (4.31) или (4.32) только для корня , а для корня взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е. · = · (4.33) или · = · . (4.34) Если среди корней многочлена F 2(p) = 0 есть q простых корней (p 1, p 2, …, pq), корень pr кратности r и корень ps кратности s, то можно записать теорему разложения с двойной суммой в правой части (одна сумма – по числу корней, а вторая – для каждого корня по порядку его кратности): · = · (4.35) Если нужно вычислить начальное (при t = 0+) и установившееся (при t = ¥) значения оригинала, т.е. f (0+) и f (¥), то можно воспользоваться формулами (4.31) и (4.32). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются достаточно просто по так называемым предельным соотношениям: (4.36) и . (4.37) Рассмотрим специфические особенности применения метода. Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC –цепи на постоянное напряжение (рис. 4.26, а). Определим закон изменения в переходном режиме. Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 4.26, б. Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома: Изображение тока в операторной схеме замещения Для отыскания воспользуемся теоремой разложения: · = · . Используя предельные соотношения, определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:
Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения в переходном режиме и . Пример 2. Найти напряжение на емкости в цепи (рис. 4.27), подключенной к источнику постоянного напряжения U = 4 B. Параметры элементов электрической цепи приведены на рисунке. 1. Анализ независимых начальных условий (докоммутационный режим)
2. Эквивалентная операторная схема представлена на рис. 4.29. Операторные сопротивления: Операторные ЭДС:
3. Расчет эквивалентной операторной схемы методом узловых потенциалов: . После необходимых преобразований получим . 4. Для отыскания воспользуемся теоремой разложения: · = · , здесь , , Таким образом, . Окончательно .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|