Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Кольцо многочленов над областью целостности.

Глава XI. Многочлены.

Кольцо многочленов от одной переменной над

Ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей

Определение 1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочленом над кольцом K от переменной x называется выражение вида , где a_i Î K, причем лишь конечное число элементов a_i ≠0.

a_i называется коэффициентом многочлена f (x) при степени i.

Множество всех многочленов над кольцом K от переменной x обозначается K [ x ].

Определение 2. Пусть f (x) и g (x) , где K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f (x) и g (x) называются равными (алгебраически), если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Определение 3. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0=0(x).

Определение 4. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f (x) , f (x)≠0(x). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f =n, если a_n ≠0 и a_i =0 при i > n.

По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 (x) .

Таким образом, если , то deg (deg ℕ {0}).

Согласно определению 2, добавляя или отбрасывая слагаемые с нулевыми коэффициентами, мы получаем многочлен, равный данному. Таким образом, всякий многочлен степени n может быть записан в виде

().

Тогда a₀ называется свободным или постоянным членом многочлена f (x), a_n - старшим коэффициентом многочлена f (x).

Определение 5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , , причем n ≥ m.

Операции сложения и умножения многочленов из K [ x ] определяются по правилам

(1)

(2)

Теорема 1. Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда K [ x ] относительно операций по правилам (1) и (2) – также является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей 1(x) = 1.

Доказательство. Проверим для K [ x ] все аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей.

1. K [ x ]¹Æ, например, 0(x)Î K [ x ], так как все его коэффициенты равны 0Î K.

2. Операции «+» и «⋅» по правилам (1) и (2) являются алгебраическими на K [ x ] (т.е. K [ x ] замкнуто относительно этих операций). Действительно, пусть f (x)и g (x)Î K [ x ], из формул (1) и (2) следует, что коэффициенты многочленов f (x) +g (x)и f (x) ⋅g (x)получаются путем сложения и умножения коэффициентов f (x)и g (x), т.е. элементов из K. В силу замкнутости кольца K относительно сложения и умножения, коэффициенты многочленов f (x) +g (x)и f (x) ⋅g (x) принадлежат K. То есть f (x) +g (x)Î K [ x ]и f (x) ⋅g (x)Î K [ x ].

3. <K [ x ], +> - абелева группа.

а) «+» ассоциативно на K [ x ]: " f (x) ,g (x) ,h (x)Î K [ x ] (f (x)+ g (x))+ h (x) =f (x)+(g (x)+ h (x))

б) «+» коммутативно на K [ x ]: " f (x) ,g (x)Î K [ x ] f (x)+ g (x) =g (x)+ f (x)

в) Существует 0(x)=0+0⋅ x +0⋅ x ²+…+0⋅ xⁿ +… Î K [ x ] такой, что " Î K [ x ]: =

аналогично,

г) " Î K [ x ] существует Î K [ x ] такой, что

= 0+0⋅ x +0⋅ x ²+…+0⋅ xⁿ= 0(x). Аналогично = 0(x).

4. В K [ x ] выполняются дистрибутивные законы:

д) " f (x) ,g (x) ,h (x)Î K [ x ] (f (x)+ g (x))⋅ h (x) =f (x) ⋅h (x)+ g (x)⋅ h (x)

h (x) ⋅ (f (x)+ g (x)) =h (x) ⋅f (x)+ h (x)⋅ g (x)

Таким образом, K [ x ] – кольцо.

5. Покажем, что K [ x ] – асcоциативно-коммутативное кольцо с 1.

е) «⋅» ассоциативно на K [ x ]: " f (x) ,g (x) ,h (x)Î K [ x ] (f (x)⋅ g (x))⋅ h (x) =f (x)⋅(g (x)⋅ h (x))

ж) «⋅» коммутативно на K [ x ]: " f (x) ,g (x)Î K [ x ] f (x)⋅ g (x) =g (x)⋅ f (x)

з) В K [ x ]существует единичный многочлен 1(x)= 1+0⋅ x +0⋅ x ²+…+0⋅ xⁿ+… Î K [ x ]c коэффициентами b ₀=1, b_i =0 для остальных i. " Î K [ x ]

=

справедливость а), б), д), е), ж) следует из того, что операции «+» и «⋅» над многочленами сводятся к соответствующим операциям над их коэффициентами – элементами из K, а в кольце K «+» и «⋅» коммутативны, ассоциативны и выполняются дистрибутивные законы.

Теорема доказана.

Степень многочлена. Свойства степени многочлена

Теорема 2. Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда: