Механические модели, описывающие реологические свойства реального тела

Процесс деформации реального тела весьма сложен, поэтому построить математическую модель такого тела трудно даже при наличии эмпирических коэффициентов. В действительности модель должна описывать такие свойства, как упругая деформация, пластическое и вязкое течение, ползучесть и релаксация и т. д. Если бы даже удалось создать такую модель, то она была бы слишком громоздкой для того, чтобы служить основой для решения задач, связанных с определением напряжений и деформаций в твердых телах. В связи с этим обычно пользуются более простыми моделями, описывающими лишь те механические свойства, которые наиболее существенны для рассматриваемой задачи.

Наиболее известными моделями такого типа являются упругое тело Гука и ньютоновская вязкая жидкость, представляющие собой математические абстракции, лишенные физической реальности и тем не менее являющиеся полезными средствами для изучения реальных физических свойств.

Упругое тело является консервативной системой, т. е. механическая энергия, используемая для совершения деформации, накапливается в теле и может быть получена обратно при раз грузке. Вязкое тело, т. е. такое тело, в котором напряжение зависит от скорости деформации, является диссипативнойсистемой, поскольку механическая энергия, затраченная на преодоление внутреннего трения, препятствующего деформированию, обращается в теплоту.

При математическом описании конечных деформаций упругого тела возникают определенные трудности, обойти которые можно, ограничившись рассмотрением бесконечно малых деформаций.

Рассмотрение конечных деформаций для вязких жидкостей не приводит к особым математическим затруднениям. Различия в математическом описании конечных деформаций для упругих тел и вязких жидкостей состоят в том, что механическое поведение упругого тела определяется напряжениями и деформациями, а механическое поведение вязких жидкостей -напряжениями и скоростями деформаций. При определении де формаций мы сопоставляем деформированное состояние с не которым исходным состоянием, обычно с состоянием, свободным от напряжений. При конечном отклонении от этого со стояния математические формулы, определяющие деформации, становятся весьма сложными. Кроме того, при определении скоростей деформаций сопоставляют состояния рыбы в момент времени, разница между которыми равна dt. Отклонения между этими состояниями бесконечно малы, поэтому не возникает математических усложнений.

В упругих телах напряжение связано с мгновенным состоянием деформации, а в вязкой жидкости и пластических телах — с мгновенным состоянием течения; вязкое и пластическое течения связаны с диссипацией энергии и приводят к остаточным деформациям. В случае вязкого течения механическая энергия, которая диссипировалась при возникновении данной деформации, зависит от скорости деформации; в случае пластического течения диссипированная энергия не зависит от скорости деформации.

Математическую зависимость между напряжением деформаций и временем в виде линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно установить и без моделей, однако модели в значительной степени облегчают уяснение физической сущности механического поведения того или иного тела, а также дают возможность определить, обладает ли тело мгновенной упругой деформацией, запаздывающей упругой деформацией, релаксацией напряжений. Поскольку зависимости между напряжением, деформацией и временем определяются обычно линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то в общем виде уравнение может быть записано следующим образом:

               (4)

где А, А₁, A_n, В, b ₁, В_т — постоянные коэффициенты, которые определяют механические свойства изучаемого тела; σ — напряжение; ε — относительная деформация.

Решение дифференциального уравнения содержит, произвольные постоянные, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Произвольные постоянные определяют, исходя из начальных условий, т. е. при t = 0 или при t=∞. Число условий должно равняться числу произвольных постоянных. Поскольку механическое поведение реального тела описывается уравнением (4) только приближенно, то задача заключается в том, чтобы выбрать частный вид уравнения, достаточно хорошо описывающий экспериментальную зависимость -напряжение — деформация — время.

Для математического описания деформаций и напряжений исследуемого тела можно сначала в соответствии с экспериментальными данными подобрать подходящую модель, состоящую из упругих, вязких и пластических элементов или их комбинаций, а затем описать ее математически. Или же сразу подо брать тип уравнения, начиная с простейших видов, которое качественно описывает экспериментальную зависимость. Качественное совпадение находят по наличию или отсутствию мгновенной упругой деформации, запаздывающей деформации, остаточной деформации и релаксации напряжений.

Постоянные коэффициенты находят, исходя из экспериментальных данных, и определяют количественное расхождение между выбранным уравнением и опытными данными.