Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Системы массового обслуживания с отказами




УДК 519.872

Методические указания к практическому занятию «Системы массового обслуживания» по дисциплинам «Исследование операций», «Экономико-математические методы» для студентов специальностей: 7.050201 – «Менеджмент организаций», 7.050107 – «Экономика предприятия» всех форм обучения / Сост. Н.А. Русина, А.А. Загорулько – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006г. – 16с.

 

Методические указания подготовлены с целью закрепления теоретических знаний и получения практических навыков в области систем массового обслуживания. Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей всех форм обучения.

 

 

Методические указания утверждены на заседании кафедры менеджмента и экономико-математических методов (протокол № 9 от «11»апреля 2006г.).

 

Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний

 

Рецензент:

Андреева Л.И., доцент кафедры «Экономика и маркетинг»

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель работы.....................................................................................................4

2. Теоретическая часть........................................................................................4

2.1. Общее понятие систем массового обслуживания…….............................4

2.2. Системы массового обслуживания с отказами….....................................5

2.3. Системы массового обслуживания с ожиданием…..................................8

3. Индивидуальные задания.............................................................................10

4. Содержание отчета........................................................................................14

5. Контрольные вопросы...................................................................................14

Библиографический список..............................................................................15

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Закрепление теоретических знаний и получение практических навыков в области систем массового обслуживания.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Общее понятие систем массового обслуживания

 

В производственной деятельности и повседневной жизни часто возникают такие ситуации, когда появляется необходимость в обслуживании требований или заявок, поступающих в систему. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очередей. Примерами подобных явлений могут быть очереди в магазинах, билетных кассах, скопление самолетов над аэродромами [1].

Задачами теории массового обслуживания являются анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное количество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди и т.д. Общей особенностью задач, связанных с массовым обслуживанием является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание, временные интервалы между их поступлениями и длительность обслуживания случайны. Поэтому основным аппаратом описания систем обслуживания оказывается аппарат теории случайных процессов, в частности марковских [3].

Всякой системе массового обслуживания характерна структура, которая определяется составом элементов и функциональными связями. Основные элементы системы следующие: входящий поток требований, каналы обслуживания, очередь требований и выходящий поток требований.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения та­ких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарности, стационарности и отсутствием последействия.

Ординарностьпотока означает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков.

Стационарнымназывается поток, для которого матема­тическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим λ,), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определен­ного количества требований в течение заданного промежутка времени ∆tзависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействияозначает, что число требова­ний, поступивших в систему до момента t,не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток вре­мени от tдо t+ ∆t.

Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не оп­ределяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на веро­ятность возникновения обрыва на других станках.

Каждой из систем массового обслуживания свойственна определенная организация. По составу системы обслуживания бывают одноканальные и многоканальные. Многоканальные системы могут состоять из приборов как одинаковой, так и разной производительности [2].

Другой признак классификации время пребывания требований в системе до начала обслуживания. По этому признаку все системы можно делить на три группы: системы с неограниченным временем ожидания, системы с отказами (с потерями) и системы смешанного типа.

 

Системы массового обслуживания с отказами

 

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ.Поток обслуживаний имеет интенсивность µ и время обслуживания одной заявки tобсл.Найти предельные состояния системы и показатели её эффективности.

Система S имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , , ,..., , где - состояние системы, когда в ней находятся nзаявок [4].

Для расчета такой системы используются следующие показатели:

- интенсивность обслуживания (производительность):

 

μ=1/ tобсл (1)

 

- интенсивность нагрузки канала:

 

(2)

 

- вероятность нахождения системы в состоянии (свободном):

 

(3)

 

- вероятность нахождения системы в других состояниях:

 

, , …, (4)

 

- вероятность отказа СМО:

 

(5)

 

- относительная пропускная способность:

 

(6)

 

- абсолютная пропускная способность:

 

(7)

 

- средне число занятых каналов:

 

(8)

 

Рассмотрим пример решения задачи многоканальной СМО с отказами.

Задача № 1. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 (заявок/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию n=3, λ=0,25 (заявок/час), tобсл = 3 (ч). Определим интенсивность потока обслуживаний:

 

μ =1/ tобсл =1/3=0,33 (заявок/час)

 

Вычислим интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (2):

 

=0,25 / 0,33 = 0,75

 

Найдем предельные вероятности состояний:

- вероятность нахождения системы в свободном состоянии определяется по формуле (3):

 

= (1+0,75+0,75 /2!+0,75 /3!) = 0,476

 

По формуле (4) определим вероятности нахождения системы в других состояниях.

- вероятность того, что занята только одна ЭВМ:

 

= 0,75 ∙ 0,476 = 0,357

 

- вероятность того, что заняты 2 ЭВМ:

 

=(0,75 /2!) ∙ 0,476 = 0,134

 

- вероятность того, что все 3 ЭВМ заняты, т.е. вероятность отказа:

 

=(0,75 /3!) ∙ 0,476 = 0,033

 

Таким образом можно сделать вывод о том, что в стационарном режиме работы вычислительно центра в среднем 47,6 % времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4 %- две заявки (две ЭВМ), 3,3 % времени – три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P = =0,033.

По формуле (6) определяется относительная пропускная способность центра:

 

Q = 1 – 0,033 = 0,967

 

Т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (7) вычисляется абсолютная пропускная способность центра:

 

А = 0,25 ∙ 0,967 = 0,242

 

В один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.

По формуле (8) рассчитывается среднее число занятых ЭВМ:

 

= 0,242 / 0,33 = 0,725

 

Каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5\3=24,2%.

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны – значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...