 |
Производная сложной функции
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть функция 
определена в некотором промежутке x. Дадим аргументу x некоторое приращение 
, не выходящие из промежутка х. Тогда при значении аргумента 
будем иметь 
. Следовательно, приращение функции 
равно
Предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной 
при стремлении к 0, т.е.
,
называется производной функции по независимой переменной x.
Наряду с обозначением 
для производной употребляются и другие обозначения, например
.
Конкретное значение производной при 
обозначается 
или 
.Действие нахождения производной от функции 
называется дифференцированием этой функции.
Пользуясь введённым понятием производной о скорости движения точки можно сказать следующее:
Скорость 
есть производная от производного пути S по переменной t.
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим функцию и соответствующую ей кривую в прямоугольной системе координат. Значениям аргумента x и функции 
на кривой соответствует точка 
. Дадим аргументу x приращение . Новому значению аргумента соответствует значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка 
. Проведём секущую 
и обозначим через 
угол, образованной секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что
.
При 
, точка 
будет перемещаться вдоль кривой к точке 
. Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением . При угол стремится к некоторому пределу 
, а прямая, проходящая через и составляющая угол с положительным направлением, оси абсцисс, является касательной. Её егловой коэффициент
.
Таким образом значение производной 
в точке 
равна тангенсу угла наклона касательной проведённой, к графику функции в данной точке.
|
|
|
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
Определение. Если функция имеет производную в точке 
, т.е. исли существует
,
то при хначении функция дифференцируема или имеет производную.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a, b] или интервала (a, b), то говоря, что функция дифференцируема на отрезке [a, b] или в интервале (a, b).
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Если 
то 
, где 
- величина бесконечно малая при .
Тогда 
. Отсюда следует, что 
при , а это значит, что функция непрерывна в точке 
.
Таким образом в точках разрава функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция непрерывна, не следует, что в этой точке она дифференцируема.
Производные основных элементарных функций
где 
- натуральное число.
Дадим x приращение , тогда новое значение будет
.
Пользуясь формулой бинома Ньютона, имеем
или
и
Так как при все слогаемые кроме первого, стремятся к нулю, то
.
Дадим приращение . Тогда 
и
,
Степенная функция: 
, где - любое вещественное число.
Имеем 
.
.
Таким образом 
.
Показательная функция:
Здесь 
Перейдя к пределу, получим
.
В частности, если 
, то 
.
Логагифмическая функция:
В этом случае
Переходя к пределу, найдём
.
В частности при 
имеем 
.
Тригонометрические функции.
Пусть 
тогда
.
Пользуясь непрерывностью функции 
и изветным пределом 
, получим
Т.о. 
Аналогично найдём производную функции 
.
.
В случае 
имеем
Т.е. 
.
Аналогично, если 
, то 
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в следующем виде: 
или 
. В выражении 
переменную и называют промежуточным аргументом. Правило дифференцирования сложной функции сложной функции можно сформулировать в виде теоремы:
|
|
|
Пусть 
имеет в некоторой точке производную 
, а qфункция 
имеет в соответствующей точке производную 
. Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций 
и 
: 
, или короче 
.
Доказательство. Дадим переменной произвольное приращение , которому соответствует приращение 
, а приращение соответствует приращение . Причём при будет 
и .
По условию теоремы 
, а поэтому, пользуясь определение предела, можем записать (при 
): 
, или короче .
Доказательство. Дадим переменной x произвольное приращение , которому соответствует приращение , а приращение соответствует приращению . Причем при будет и .
По условию теоремы 
, а поэтому, пользуясь определением предела, можем записать (при ):
, (1)
где 
при .
Перепишем равенство (1) в виде
(2)
Это равенство справедливо и при 
при произвольном . Разделив его почленно на , получим
.
При к нулю будет стремится и 
, а также зависящие от величина . Следовательно, существует предел
, который и представляет собою искомую производную 
.
Примеры. 1) Пусть 
, иначе говоря, 
, где 
. По правилу дифференцирования сложной функции будем иметь 
при . Таким образом 
.
2) 
, т.е. 
, где 
;
.
3) 
т.е. 
, где 
.
4) 
5) 
.
6) 
; в этом случае
|
|
|
