Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Производная сложной функции




ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

 

Пусть функция определена в некотором промежутке x. Дадим аргументу x некоторое приращение , не выходящие из промежутка х. Тогда при значении аргумента будем иметь . Следовательно, приращение функции равно

Предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к 0, т.е.

,

называется производной функции по независимой переменной x.

Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например

.

Конкретное значение производной при обозначается или .Действие нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

Пользуясь введённым понятием производной о скорости движения точки можно сказать следующее:

Скорость есть производная от производного пути S по переменной t.

Геометрический смысл производной.

Рассмотрим функцию и соответствующую ей кривую в прямоугольной системе координат. Значениям аргумента x и функции на кривой соответствует точка . Дадим аргументу x приращение . Новому значению аргумента соответствует значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведём секущую и обозначим через угол, образованной секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что

.

При , точка будет перемещаться вдоль кривой к точке . Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением . При угол стремится к некоторому пределу , а прямая, проходящая через и составляющая угол с положительным направлением, оси абсцисс, является касательной. Её егловой коэффициент

.

Таким образом значение производной в точке равна тангенсу угла наклона касательной проведённой, к графику функции в данной точке.

 

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ

Определение. Если функция имеет производную в точке , т.е. исли существует

,

то при хначении функция дифференцируема или имеет производную.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a, b] или интервала (a, b), то говоря, что функция дифференцируема на отрезке [a, b] или в интервале (a, b).

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Если то , где - величина бесконечно малая при .

Тогда . Отсюда следует, что при , а это значит, что функция непрерывна в точке .

Таким образом в точках разрава функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция непрерывна, не следует, что в этой точке она дифференцируема.

Производные основных элементарных функций

где - натуральное число.

Дадим x приращение , тогда новое значение будет

.

Пользуясь формулой бинома Ньютона, имеем

или

и

Так как при все слогаемые кроме первого, стремятся к нулю, то

.

Дадим приращение . Тогда и

,

Степенная функция: , где - любое вещественное число.

Имеем .

.

Таким образом .

Показательная функция:

Здесь

Перейдя к пределу, получим

.

В частности, если , то .

Логагифмическая функция:

В этом случае

Переходя к пределу, найдём

.

В частности при имеем .

Тригонометрические функции.

Пусть тогда

.

Пользуясь непрерывностью функции и изветным пределом , получим

Т.о.

Аналогично найдём производную функции .

.

В случае имеем

Т.е. .

Аналогично, если , то

 

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

 

Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в следующем виде: или . В выражении переменную и называют промежуточным аргументом. Правило дифференцирования сложной функции сложной функции можно сформулировать в виде теоремы:

Пусть имеет в некоторой точке производную , а qфункция имеет в соответствующей точке производную . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций и : , или короче .

Доказательство. Дадим переменной произвольное приращение , которому соответствует приращение , а приращение соответствует приращение . Причём при будет и .

По условию теоремы , а поэтому, пользуясь определение предела, можем записать (при ): , или короче .

Доказательство. Дадим переменной x произвольное приращение , которому соответствует приращение , а приращение соответствует приращению . Причем при будет и .

По условию теоремы , а поэтому, пользуясь определением предела, можем записать (при ):

, (1)

где при .

Перепишем равенство (1) в виде

(2)

Это равенство справедливо и при при произвольном . Разделив его почленно на , получим

.

При к нулю будет стремится и , а также зависящие от величина . Следовательно, существует предел

, который и представляет собою искомую производную .

Примеры. 1) Пусть , иначе говоря, , где . По правилу дифференцирования сложной функции будем иметь при . Таким образом .

2) , т.е. , где ;

.

3) т.е. , где

.

4)

5) .

6) ; в этом случае

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...