Производная сложной функции
Стр 1 из 2Следующая ⇒ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть функция определена в некотором промежутке x. Дадим аргументу x некоторое приращение , не выходящие из промежутка х. Тогда при значении аргумента будем иметь . Следовательно, приращение функции равно Предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к 0, т.е. , называется производной функции по независимой переменной x. Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например . Конкретное значение производной при обозначается или .Действие нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции. Пользуясь введённым понятием производной о скорости движения точки можно сказать следующее: Скорость есть производная от производного пути S по переменной t. Геометрический смысл производной. Рассмотрим функцию и соответствующую ей кривую в прямоугольной системе координат. Значениям аргумента x и функции на кривой соответствует точка . Дадим аргументу x приращение . Новому значению аргумента соответствует значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведём секущую и обозначим через угол, образованной секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что . При , точка будет перемещаться вдоль кривой к точке . Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением . При угол стремится к некоторому пределу , а прямая, проходящая через и составляющая угол с положительным направлением, оси абсцисс, является касательной. Её егловой коэффициент . Таким образом значение производной в точке равна тангенсу угла наклона касательной проведённой, к графику функции в данной точке.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ Определение. Если функция имеет производную в точке , т.е. исли существует , то при хначении функция дифференцируема или имеет производную. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a, b] или интервала (a, b), то говоря, что функция дифференцируема на отрезке [a, b] или в интервале (a, b). Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна. Доказательство. Если то , где - величина бесконечно малая при . Тогда . Отсюда следует, что при , а это значит, что функция непрерывна в точке . Таким образом в точках разрава функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция непрерывна, не следует, что в этой точке она дифференцируема. Производные основных элементарных функций где - натуральное число. Дадим x приращение , тогда новое значение будет . Пользуясь формулой бинома Ньютона, имеем или и Так как при все слогаемые кроме первого, стремятся к нулю, то . Дадим приращение . Тогда и , Степенная функция: , где - любое вещественное число. Имеем . . Таким образом . Показательная функция: Здесь Перейдя к пределу, получим . В частности, если , то . Логагифмическая функция: В этом случае Переходя к пределу, найдём . В частности при имеем . Тригонометрические функции. Пусть тогда . Пользуясь непрерывностью функции и изветным пределом , получим Т.о. Аналогично найдём производную функции . . В случае имеем
Т.е. . Аналогично, если , то
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в следующем виде: или . В выражении переменную и называют промежуточным аргументом. Правило дифференцирования сложной функции сложной функции можно сформулировать в виде теоремы:
Пусть имеет в некоторой точке производную , а qфункция имеет в соответствующей точке производную . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций и : , или короче . Доказательство. Дадим переменной произвольное приращение , которому соответствует приращение , а приращение соответствует приращение . Причём при будет и . По условию теоремы , а поэтому, пользуясь определение предела, можем записать (при ): , или короче . Доказательство. Дадим переменной x произвольное приращение , которому соответствует приращение , а приращение соответствует приращению . Причем при будет и . По условию теоремы , а поэтому, пользуясь определением предела, можем записать (при ): , (1) где при . Перепишем равенство (1) в виде (2) Это равенство справедливо и при при произвольном . Разделив его почленно на , получим . При к нулю будет стремится и , а также зависящие от величина . Следовательно, существует предел , который и представляет собою искомую производную . Примеры. 1) Пусть , иначе говоря, , где . По правилу дифференцирования сложной функции будем иметь при . Таким образом . 2) , т.е. , где ; . 3) т.е. , где . 4) 5) . 6) ; в этом случае
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|