Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Производная обратной функции

Пусть дана возрастающая или убывающая функция , т. е. между переменными и устанавливается взаимно однозначное соответствие. Рассматривая эти значения как значения аргумента, а как значения функции, получим как функцию от :

Эта функция называется обратной для функции . Очевидно, что и функция является обратной для функции .

Теорема. Если для функции существует обратная функция , которая рассмаириваемой точке имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную равную т.е. справедлива формула

. (*)

Доказательство. Дифференцируя обу части равенства по , считая функцией от Откуда . Учитывая, что , получаем формулу (*), которую можно записать в виде

(**)

Легко выяснить ее геометрический смысл. Мы знаем что, производная есть тангенс угла , образованного касательной к графику функции

с осью . Но обратная функция имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси . Поэтому производная равна тангенсу угла , составленной той же касательной с осью . Таким образом выведенная формула сводится к известному соотношению , связывающему тангенсы двух углов и , сумма которых равна .

Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию , причём . Она является обратной для функции , имеющей положительную производную . В таком случае существует также производная и равна по нашей формуле

;

корень берём со знаком «плюс», так как .

Значения мы исключили, ибо для соответствующих значений производная .

Функция служит обратной для функции .

По нашей формуле . Аналогично можно получить:

для ,

для .

Примеры. 1)

2) .

4) .

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ

ПРОИЗВОДНЫХ

Постоянный множитель можно вынести за знак производной где

Докозательство: Дадим независимой переменной приращение , тогда функция получит приращение равное

Разделим обе части равенства на и перейдем к пределу при .

т.е. .

Пример.

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Доказательство. Дадим переменной приращение . Для значения аргумента имеем , где - приращения функций соответствующие приращению . Отсюда .

Разделим на . Следовательно,

Или окончательно

Пример. ,

производная двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй функции, т.е.

где и

Доказательство. Приращение аргумента соответствуют приращения , и . При этом

Так как при и , то , т.е. существует производная и равна

Если , при чём и существуют, то

Примеры: а)

б)

. Производная дроби (частного от деления двух функций) равна дроби, числитель которой равен разности производной между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби.

Поизводная дроби (частного от деления двух функций) равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя, и деленное все на квадрат знаменателя, т.е.

если то