Производная обратной функции
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Пусть дана возрастающая или убывающая функция , т. е. между переменными и устанавливается взаимно однозначное соответствие. Рассматривая эти значения как значения аргумента, а как значения функции, получим как функцию от : . Эта функция называется обратной для функции . Очевидно, что и функция является обратной для функции . Теорема. Если для функции существует обратная функция , которая рассмаириваемой точке имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную равную т.е. справедлива формула . (*) Доказательство. Дифференцируя обу части равенства по , считая функцией от Откуда . Учитывая, что , получаем формулу (*), которую можно записать в виде (**) Легко выяснить ее геометрический смысл. Мы знаем что, производная есть тангенс угла , образованного касательной к графику функции
с осью . Но обратная функция имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси . Поэтому производная равна тангенсу угла , составленной той же касательной с осью . Таким образом выведенная формула сводится к известному соотношению , связывающему тангенсы двух углов и , сумма которых равна . Обратные тригонометрические функции Рассмотрим функцию , причём . Она является обратной для функции , имеющей положительную производную . В таком случае существует также производная и равна по нашей формуле ; корень берём со знаком «плюс», так как . Значения мы исключили, ибо для соответствующих значений производная . Функция служит обратной для функции . По нашей формуле . Аналогично можно получить: для , для . Примеры. 1) 2) . 3) . 4) . .
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Постоянный множитель можно вынести за знак производной где Докозательство: Дадим независимой переменной приращение , тогда функция получит приращение равное . Разделим обе части равенства на и перейдем к пределу при . т.е. . Пример. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций. Доказательство. Дадим переменной приращение . Для значения аргумента имеем , где - приращения функций соответствующие приращению . Отсюда . Разделим на . Следовательно, Или окончательно Пример. , . производная двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй функции, т.е. где и Доказательство. Приращение аргумента соответствуют приращения , и . При этом и , , Так как при и , то , т.е. существует производная и равна Если , при чём и существуют, то Примеры: а) б) . Производная дроби (частного от деления двух функций) равна дроби, числитель которой равен разности производной между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби. Поизводная дроби (частного от деления двух функций) равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя, и деленное все на квадрат знаменателя, т.е. если то Доказательство. Если суть приращения функций соответствующие приращению аргумента , то ,
, . Устремляя к нулю (причем одновремеено и ), получим, Примеры: а) б)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|