Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Бреггов.

Пространственной, или трехмерной, дифракционной решеткой называется такая оптически неоднородная среда, в которой неоднородности периодически повторяются при изменении всех трех пространственных координат.

Условия прохождения света через обычную дифракционную решетку периодически изменяются только в одном направлении, перпендикулярном к оси щели. Поэтому такую решетку называют одномерной.

Простейшую двумерную решетку можно получить, сложив две одномерные решетки так, чтобы их щели были взаимно перпендикулярны. Главные максимумы двумерной решетки должны одновременно удовлетворять условию максимума для каждой из решеток:

и ,

где φ - угол между направлением на главный максимум (направление луча) и нормалью к решетке; m – порядок дифракционного максимума.

Дифракционная картина представляет собой систему светлых пятен, расположенных в определенном порядке на плоскости экрана. Размеры этих пятен уменьшаются при увеличении числа щелей, а яркость возрастает. Такая же картина получается, если на одно стекло нанести ряд взаимно перпендикулярных полос.

Дифракция наблюдается также и на трехмерных структурах. Всякий монокристалл состоит из упорядоченно расположенных атомов (ионов), образующих пространственную трехмерную решетку (естественная пространственная решетка).

Период атомной решетки порядка ; длина волны света . При таких условиях никаких дифракционных явлений на атомных дифракционных решетках с видимым светом не будет. Нужно излучение с меньшей длиной волны, например рентгеновское. Для рентгеновских лучей кристаллы твердых тел являются идеальными дифракционными решетками.

В 1913 г. русский физик Г.В. Вульф и английские ученые отец и сын Генри и Лоуренс Брэгги, независимо друг от друга, предложили простой метод расчета дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Они полагали, что дифракцию рентгеновских лучей можно рассматривать как результат отражения рентгеновских лучей от плоскостей кристалла. Это отражение, в отличие от обычного, происходит лишь при таких условиях падения лучей на кристалл, которые соответствуют максимуму интерференции для лучей, отраженных от разных плоскостей.

Направим пучок рентгеновских лучей 1 и 2 на две соседние плоскости кристалла и (рис. 9.9).

Рис. 9.9

Абсолютный показатель преломления всех веществ для рентгеновских лучей равен 1. Поэтому оптическая разность хода между лучами и

,

где θ – угол между падающими и отраженными лучами и плоскостью кристалла (угол скольжения).

Интерференционные максимумы должны удовлетворять условию Вульфа–Брэггов:

, (m = 1, 2, 3,....).

(9.5.1)

Из формулы (9.5.1) видно, что дифракция будет наблюдаться лишь при . Т. е. при условии будут отсутствовать дифракционные максимумы. Поэтому условие называют условием оптической однородности кристалла.

Из (9.5.1) следует, что наблюдение дифракционных максимумов возможно только при определенных соотношениях между λ и θ. Этот результат лежит в основе спектрального анализа рентгеновского излучения, так как длину волны определяют по известным d, m и измеренному на опыте углу.

Исследуя дифракцию рентгеновских лучей, можно решить и обратную задачу: если известна длина волны λ рентгеновских лучей, можно определить период кристаллической решетки d и ориентацию атомных плоскостей в пространстве. Эта идея была высказана немецким физиком М. Лауэ в 1912 г. и явилась существенным вкладом в развитие физики твердого тела.

Поликристаллические образцы представляют собой множество мелких кристалликов, ориентированных хаотически в пространстве. Направим на кристалл монохроматический пучок рентгеновских лучей с известной длиной волны λ, и всегда найдутся кристаллы, ориентированные под нужным углом, а рефлексы (светлые точки на фотопластинке) от разных кристаллов образуют концентрические окружности D ₁, D ₂, D ₃ (рис. 9.10).

Рис. 9.10

При облучении монохроматическим рентгеновским излучением от источника S поликристаллического образца O c беспорядочной ориентацией кристаллических плоскостей для различных направлений возникают конусы направлений D ₁, D ₂, D ₃,…, в которых выполнено условие Вульфа-Брэггов. Этот метод был предложен в 1926 г. П. Дебаем и П. Шеррером (метод Дебая–Шеррера).

Рис. 9.11

На рис. 9.11 показана дебаеграмма в методе рентгеноструктурного анализа Дебая–Шеррера.