 |
Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
|
|
|
|
Методические указания к выполнению контрольной работы № 3
Для направлений бакалавриата:
Строительство
Профиль:
Промышленное и гражданское строительство
Уфа 2012
00УДК 51(07)
ББК 22.1я73,22.161.6
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: доцент Пономарева Л.А.,
ст. преподаватель Гильманова Г.Х.,
ст. преподаватель Карамов В.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.
Оглавление
Введение 4
1 Дифференциальные уравнения. 5
1.1 Дифференциальные уравнения первого порядка 5
1.2 Дифференциальные уравнения второго порядка 7
2 Ряды. 10 2.1 Знакоположительные ряды 11
2.2 Знакопеременные ряды 13
2.3 Функциональные ряды 13
3 Варианты индивидуальных заданий 17
Библиографический список 22
Введение
Целью настоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №3.
Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях.
Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле 
,
где 
- номер варианта,
-номер задания,
-предпоследняя цифра шифра студента,
-последняя цифра шифра.
Пример.
Пусть шифр студента 1235, тогда:
номер варианта первого задания: 
= 
;
номер варианта второго задания: 
;
номер варианта третьего задания: 
;
|
|
|
номер варианта четвертого задания: 
.
Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.
Если итоговая число по формуле получится больше 20, то для опред еле ния варианта от полученного числа отнимают 20.
Пример.
Пусть шифр студента 1298.
Номер варианта второго задания: 
. Промежуток 26-20=6. Таким образом, во втором задании студент решает задачу варианта №6.
Основная цель инженера – исследователя, изучающего какой- либо физический или технический процесс, заключается в выявлении его закономерностей, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.
Большинство подобных задач сводится к решению уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.
Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
Дифференциальным уравнениемназывается равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.
Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными.
Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.
Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е. обращающая его в тождество, называется интегралом (решением) данного уравнения.
Интеграл дифференциального уравнения, называется общим, если он содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядокуравнения. А функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами этого уравнения.
|
|
|
Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.
1.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение с разделенными переменными
Общий вид: 
Его общий интеграл: 
Уравнение с разделяющимися переменными
Его общий вид: 
или 
.
Разделяя переменные: 
, получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
Это уравнение вида: 
если функция 
удовлетворяет условию 
, k=const
Уравнение первого порядка 
называется однородным, если 
можно представить как функцию только одного отношения переменных 
, т.е. уравнения вида 
.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у=ux (или x=uy), где u=u (x) (u=u (y))- новая функция.
Пример 1.
Найти общий интеграл данного уравнения:
Решение:
Это однородное уравнение, т.к. 
Далее вводим новую функцию 
, полагая 
при этом 
и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными 
или 
Разделим переменные: 
и, интегрируя, найдем 
или 
. Исключая вспомогательную функцию 
, окончательно получим 
Линейные уравнения первого порядка
Это уравнения вида: 
, где 
и 
- известные функции от х.
Посредством замены функции 
произведением двух вспомогательных функций 
линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.
Пример 2
Решить уравнение 
Решение:
Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем 
тогда 
и данное уравнение преобразуется к виду:
Так как одну из вспомогательных функций 
или можно взять произвольно, то выберем в качестве какой – либо частный интеграл уравнения 
(1)
Тогда для отыскания получим уравнение: 
(2)
Решая первое уравнение, найдем . Разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:
Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения: 
Зная и , находим искомую функцию 
.
Уравнение Бернулли
Его общий вид: 
. Данное уравнение отличается от линейного тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции . Решается оно так же, как и линейное. Посредством подстановки 
сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.
|
|
|
|
|
|
