Равносильное определение кратности корня.

Алгебраические многочлены. Разложение многочленов на множители.

Определение. Алгебраическим многочленом n-й степени (nÎN) называется выражение вида: P_n(z)=c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n (1)

где z=x+iy, c₀,c₁,…,c_n-1,c_n – постоянные комплексные числа (c₀≠0).

Алгебраическим многочленом нулевой степени называется любая комплексная постоянная.

Пусть P_n(z) и F_m(z) (deg P=n, deg F=m) - алгебраические многочлены, причем m£n, тогда имеет место равенство:

P_n(z)=F_m(z)×Q(z)+R(z) (2)

где Q(z) и R(z) – некоторые алгебраические многочлены, причем

deg Q(z)=deg P_n(z)-deg F_m(z)=n-m, deg R(z)<deg F_m(z).

Операция по нахождению алгебраических многочленов Q(z) и R(z) по заданным многочленам P_n(z) и F_m(z) называется делением многочлена P_n(z) на F_m(z). P_n(z) - делимое, F_m(z) – делитель, Q(z) – частное, R(z) – остаток от деления P_n(z) на F_m(z).

(Производится при помощи алгоритма Евклида)

(Любой алгебраический многочлен делится на отличный от нуля многочлен нулевой степени).

Определение. Комплексное число а называется корнем алгебраического многочлена P_n(z), если P_n(а)=0 (3)

Теорема 1. Алгебраический многочлен P_n(z) ненулевой степени делится без остатка на двучлен (z-a) без остатка лишь тогда, когда а является корнем P_n(z).

Доказательство. Для P_n(z) и F₁(z)=z-a запишем соотношение (2):

P_n(z)=(z-а)×Q(z)+R(z) (4)

Т.к. deg R(z)<deg (z-а)=1, то R(z) – алгебраический многочлен нулевой степени, т.е. R(z)=const=C.

Тогда соотношение (4) примет вид: P_n(z)=(z-а)×Q(z)+С (5)

Положив в (5) z=a, получим P_n(а)=(а-а)×Q(а)+С, т.е. P_n(а)=С.

Т.о. P_n(z) делится без остатка на (z-а) лишь тогда, когда P_n(а)=0, т.е. когда а является корнем многочлена P_n(z). Ч.т.д.

Теорема 2. Пусть имеется алгебраический многочлен

P_n(z)=c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n

Если P_n(z)º0, то c₀=c₁=…=c_n-1=c_n=0.

Доказательство. По условию P_n(z)º0, т.е. c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_nº0 (6)

Т.к. левая часть (6) равна нулю "z, то положим в (6) z=0, получим c_n=0. Тождество (6) может быть переписано в виде: z(c₀z^n-1+c₁z^n-2+…+c_n-1)º0 (7)

Тождество (7) имеет место лишь тогда, когда

c₀z^n-1+c₁z^n-2+…+c_n-1º0 (8)

Положив в (8) z=0, получим c_n-1=0.

Проводя аналогичные рассуждения, получим c_n-2=0, c_n-3=0,…, c₁=0, c₀=0. ч.т.д.

Теорема 3. Пусть имеются алгебраических многочлена степени n:

P_n(z)=c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n и P^*_n(z)=c^*₀zⁿ+c^*₁z^n-1+…+c^*_n-1z+c^*_n.

Если P_n(z)ºP^*_n(z), то c₀=c^*₀, c₁=c^*₁…c_n-1=c^*_n-1,c_n=c^*_n.

Доказательство. По условию P_n(z)ºP^*_n(z)ÛP_n(z)-P^*_n(z)º0Û

Û(c₀-c^*₀)zⁿ+(c₁-c^*₁)z^n-1+…+(c_n-1-c^*_n-1)z+(c_n-c^*_n)º0.

В силу теоремы 2, последние тождество имеет место лишь тогда, когда

Ûc₀-c^*₀=0, c₁-c^*₁=0,…c_n-1-c^*_n-1=0, c_n-c^*_n=0, т.е. когда

(c₀-c^*₀)zⁿ+(c₁-c^*₁)z^n-1+…+(c_n-1-c^*_n-1)z+(c_n-c^*_n)º0 ч.т.д.

Основная теорема алгебры. Всякий алгебраический многочлен P_n(z) ненулевой степени (n³1) имеет хотя бы один корень.

Следствие. Алгебраический многочлен P_n(z) степени n³1 имеет ровно n корней.

Доказательство (?). По условию, P_n(z) - алгебраический многочлен степени n³1. По основной теореме алгебры он имеет хотя бы один корень. Обозначим этот корень через а₁. Тогда P_n(z) можно представить в виде:

P_n(z)=(z-a₁)P_n-1(z) (9)

Где P_n-1(z) - алгебраический многочлен степени (n-1).

Если n-1¹0, т.е. если n>1, то P_n-1(z) - алгебраический многочлен ненулевой степени, и, следовательно, по основной теореме алгебры он имеет хотя бы один корень. Обозначим этот корень через а₂. Тогда P_n-1(z) можно представить в виде:

P_n-1(z)=(z-a₂)P_n-2(z) (10)

Где P_n-2(z) - алгебраический многочлен степени (n-2).

Продолжая этот процесс аналогичным образом, на n-м шаге будем иметь:

P₁(z)=(z-a_n)P₀(z)

Где P₀(z) - алгебраический многочлен нулевой степени, т.е. P₀(z)=с.

Тогда P₁(z)=(z-a_n)×с (11)

Учитывая (9), (10), (11), можно написать, что

P_n(z)=с(z-a₁)(z-a₂)…(z-a_n) (12) - разложение многочлена P_n(z) на множители. Причем, с=с₀, a₁,a₂,…,a_n корни P_n(z).

Кратные корни алгебраического многочлена.

Среди корней a₁,a₂,…,a_n многочлена P_n(z) могут оказаться равные.

Пусть a,b,…,l различные корни P_n(z). Тогда для P_n(z) разложение (9) имеет вид:

P_n(z)=с₀(z-a)^a(z-b)^b…(z-l)^l (1)

где a,b,..,lÎN; a³1, b³1,…,l³1; a+b+…+l=n

Если для многочлена P_n(z) справедливо разложение (1), то число а является корнем P_n(z) кратности a, число b является корнем P_n(z) кратности b,…, число l является корнем P_n(z) кратности l.

Корень, кратность которого равна единице, называют простым корнем.

Равносильное определение кратности корня.

Число а называется корнем кратности a многочлена P_n(z), если для P_n(z) справедливо представление в виде:

P_n(z)=(z-a)^aφ(z) (2)

где φ(а)¹0.

Теорема (признак кратности корня) (б.д.). Для того, чтобы число а было корнем кратности a многочлена P_n(z), необходимо и достаточно, чтобы

P_n(а)=0, =0,…, =0, но ¹0.

Свойства многочленов с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами:

P_n(х)=а₀хⁿ+а₁х^n-1+…+а_n-1х+а_n (1)

где а₀,а₁,…,а_n-1,а_n – постоянные вещественные числа (а₀≠0).

Теорема (о комплексных корнях алгебраического многочлена с действительными коэффициентами). Если комплексное число а=a+ib (b¹0) является корнем P_n(х) кратности k, то сопряженное число =a-ib тоже является корнем P_n(х), причем той же кратности k.

Следствие. Совокупность комплексных корней многочлена с вещественными коэффициентами распадается на пары взаимно сопряженных корней одной и той же кратности.

На комплексной плоскости корни многочлена с вещественными коэффициентами располагаются симметрично относительно вещественной оси. На самой вещественной оси располагаются вещественные корни. (Рисунок).

 

Пусть P_n(х) – алгебраический многочлен степени n>1 с вещественными коэффициентами.

Пусть a,b,…,с – вещественные корни многочлена P_n(х) кратностей a,b,…,g соответственно, а l и ,…,m и - сопряженных комплексных корней кратностей l,…,m соответственно. Тогда для P_n(х) справедливо разложение:

P_n(х)=а₀(х-a)^a(х-b)^b…(х-с)^g(х-l)^l(х- )^l…(х-m)^m(х- )^m (2)

(Здесь a+b+…+g+2l+…+2m=n)

(х-l)^l(х- )^l=(x²+px+q)^l

…..

(х-m)^m(х- )^m=(x²+rx+s)^m

где(x²+px+q),…,(x²+rx+s) – квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами. Поэтому разложение (4) для P_n(х) примет вид:

P_n(х)=а₀(х-a)^a(х-b)^b…(х-с)^g(x²+px+q)^l…(x²+rx+s)^m (5)

где все коэффициенты вещественны.

Замечание. Может случиться, что в разложении (5) линейные или квадратные сомножители отсутствуют. Это соответствует случаям, когда отсутствуют вещественные или, соответственно, комплексные корни у P_n(х).

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: