 |
Получение первой строки матрицы C
|
|
|
|
Высшая математика
Семестр
Лекция № 1.
Матрицы и действия над ними.
Введение.
Понятие матрицы и основанный на нём раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме. Также понятие матрицы всем известно по одноимённому кинофильму Матрица. В компьютере файлы картинок хранятся в виде матриц. Форматы jpg, bmp кодируются матрицами. Обработка картинок в Photoshop – это матричная обработка. Раньше существовало такое понятие как матричный принтер. Таблицы Excel – это матричная форма представления результатов.
Матрица размера 
- прямоугольная таблица чисел, каждый элемент которой имеет 2 индекса (первый - по строке и второй - по столбцу). Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, D и т.д. Элементы матриц обозначаются маленькими буквами с индексами.
матрица размера
Частные случаи:
- матрица-строка (в матрице одна строка)
- матрица-вектор (в матрице один столбец)
Пример:
матрица размера 
к каждому элементу можно обратиться по его индексам (первый-строка, второй-столбец)
Если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов, то она называется квадратной.
Пример:
пример квадратной матрицы размера 
Квадратная матрица 
- у которой на главной диагонали 1, а вне главной диагонали 0 называется единичной
- единичная матрица размера 3x3
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Над матрицами больших размеров действия вручную не производятся. Есть специальные компьютерные программы, которые используются для обсчёта матриц. Типичный пример матриц - это таблицы Excel.
|
|
|
Транспонирование – это процедура, при применении которой в матрице меняются местами строки и столбцы. Транспонированная матрица обозначается верхним индексом «T». Если у исходной матрицы размер , то у транспонированной матрицы размер 
Пример:
- исходная матрица (
- транспонированная матрица 
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Определитель матрицы – это число, характеризующее матрицу. Если определитель матрицы не равен 0, то говорят, что матрица невырожденная. В противном случае матрицу называют вырожденной. Определитель вычисляется только для квадратных матриц.
Определитель матрицы A обозначают как 
(det A)
Пусть матрица состоит из одного элемента 
(т.е. имеет размер 
)
В этом случае 
Пусть матрица A имеет размер 
для матрицы - определитель 2-го порядка
Как запомнить формулу для определителя втрого порядка: вычитание идет крест на крест по диагонали
Пример:
(отличен от 0 => матрица невырожденная)
Пусть матрица A имеет размер 
(метод – разложение по первой строке)
для матрицы - определитель 3-го порядка рассчитывается через определители второго порядка (определители 2 –го порядка рассчитываются по формуле, приведённой выше)
Как запомнить формулу для определителя третьего порядка:
-
умножается на определитель матрицы 
, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с 
, -
умножается на определитель матрицы , которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с 
, -
умножается на определитель матрицы , которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с 
, - Знаки в формуле чередуются «+», «-», «+»
Пример на вычисление определителя:
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ (на примере матриц )
- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых
|
|
|
Местах)
!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)
Пример:
Умножение матриц (на примере матриц и 
)
или сокращённо 
формула для умножения матриц
- матрицы A и B можно перемножать, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Если матрица A имеет размер 
, а матрица B имеет размер 
, то матрица имеет размер . (
)
Пример:
(Матрица умножается на матрицу . В результате получается матрица размера )
Получение первой строки матрицы C
(
) первую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
) первую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
) первую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
) первую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
|
|
|
