 |
Получение второй строки матрицы C
|
|
|
|
(
) вторую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
) вторую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
) вторую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
) вторую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Получение третьей строки матрицы C
(
) третью строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
)третью строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
)третью строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
(
) третью строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Умножение матрицы на число
-при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на число
ПРИМЕР:
Обратная матрица
Матрица 
называется обратной к матрице A, если 
- в результате умножения получается единичная матрица
!!! Обратная матрица существует, если исходная матрица 
невырожденная, т.е. 
. Обратную матрицу можно определить только для квадратных матриц.
Алгоритм поиска обратной матрицы для матрицы 
Пусть 
-формула для поиска обратной матрицы, где
- определитель матрицы A 
- алгебраические дополнения элементов матрицы A
Они ищутся следующим образом:
Как запомнить формулу для обратной матрицы:
т.е. в исходной матрице надо поменять местами элементы на главной диагонали, а у двух оставшихся элементов изменить знак на противоположный
Найдем матрицу обратную к матрице 
(алгоритм описан выше)
= > 
=> обратная матрица существует
Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы
|
|
|
элементы на главной диаг. переставили местами,
У оставшихся элементов поменяли знаки
Матричные уравнения:
Рассмотрим систему уравнений, состоящую из 5 уравнений (
- неизвестные, остальные коэффициенты – известные числа, цель найти неизвестные )
скалярная форма записи
Используя матрицу 
, матрицу-вектор B= 
и матрицу-вектор 
,
можем записать систему уравнений в матричной форме:
Или в сокращённой форме
Если обе части скалярного уравнения 
домножить на число 
(это число обратное к 
– их произведение равно 1) то имеем
Возникает вопрос: как решать матричное уравнение (будем использовать метод решения основанный на умножении на обратную матрицу - она является аналогом обратного числа в матричном случае, т.к. 
единичной матрице
- произведение двух матриц равно третьей; A, B – известные матрицы,
неизвестная матрица – её надо найти
Домножим обе части уравнения на (обратную матрицу к матрице A) слева
[!!! Это можно делать только в случае если существует (т.е. ) – аналогично со скалярным уравнением (см. выше)].
т.к. 
т.к. (
=> перемножив и B найдём решение X
Пример 1 (на метод обратной матрицы):
- матричное уравнение
Найдем матрицу обратную к матрице A (алгоритм описан выше)
(см. Алгоритм перемножения матриц)
распишем подробно, как производится умножение:
Проверка 
(надо подставить полученную матрицу 
и проверить, что действительно в результате умножения получается матрица B)
- убедиться самим, перемножив матрицы.
Пример 2 (на метод обратной матрицы):
Дано:
- система в скалярном виде. Найти решение системы методом обратной матрицы и сделать проверку, решив систему методом Крамера
Запишем систему в матричном виде:
|
|
|
, где - матрица системы, 
- столбец свободных коэффициентов,
- столбец неизвестных
- матрица обратима (т.е. обратная матрица существует)
-обратная матрица ищется по алгоритму описанному выше (проверить самим)
- формула для поиска решения методом обратной матрицы
- решение системы
|
|
|
