Пример использования метода наименьших квадратов для обработки опытных данных

Метод наименьших квадратов (МНК) [4,6] применяется в тех случаях, когда вид зависимости известен, а искомые величины (например, λ₀, b) не могут быть измерены непосредственно.

Неизвестные коэффициенты, входящие в формулу, определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений значений опытных величин от значений аппроксимирующей функции.

Пусть, например, известно, что между двумя величинами λ и t_cр должна существовать линейная зависимость вида:

где λ₀ и b - неизвестные параметры этой зависимости.

Если заданную зависимость иллюстрировать графиком и замерить m (например, m = 3) пар значений λ и t_cр (см. п.6):

λ...	0,20	0,30	0,35
tcр …			45,

то можно составить m (например, три) уравнений:

0,20= λ₀+25b;

0,30= λ₀+35b;

0,35= λ₀+45b

для определения наивероятнейших значений параметров λ₀ и b.

Для нахождения n неизвестных величин достаточно произвести n серий наблюдений, чтобы составить число условных уравнений, необходимых для определения неизвестных. Обычно же число серий увеличивают и получают системы из m уравнений с n неизвестными (m >n).

 

Для приведения условных уравнений к нормальным составим таблицу:

Номер опыта	Исходные данные	Первое нормальное eравнение	Второе нормальное уравнение
λ0i	bi	λi	λ20i	λ0i bi	λ0i λi	bi λ0i	bi2	bi λi
			0,2			0,2
			0,3			0,3			10,5
			0,35			0,35			15,8
∑			0,85			0,85			31,3

 

Полученные нормальные уравнения:

3λ₀+105 b=0,85;

105λ₀+3875 b=31,3

имеют корни

λ₀ = 0,06; b = 0,0065.

Тогда уравнение искомой усредненной прямой будет

λ= 0,06 +0,0065t_cp.

Среднеквадратичные ошибки λ₀ и b, определенных по МНК, определяются по формулам:

(а)

 

В формулах (a):

G_λ0 - величина, равная отношению определителя, составленного из коэффициентов нормальных уравнений к тому минору, который получается из него путем вычеркивания строки и столбца, имеющего номер λ₀:

G_b - величина, равная отношению определителя, составленного из коэффициентов нормальных уравнений к тому минору, который получается из него путем вычеркивания строки и столбца, имеющего номер b:

- есть сумма квадратов отклонений левых частей условных уравнений после подстановки в них найденных из нормальных уравнений наивероятнейших значений неизвестных (λ₀ и b), определяются по следующей методике:

Номер опыта	λ0i λi	bi b	|ξi|=|(λ0i λi + bi b)- λi|	ξ2i
	0,06	0,16	|(0,06 + 0,16) - 0,2| =0,02	0,0004
	0,06	0,227	|(0,06 + 0,227) - 0,3| =0,01	0,0001
	0,06	0,29	|(0,06 + 0,29) -0,35| =0
∑	-	-	-	0,0005

 

Следовательно, среднеквадратичные ошибки λ₀ и b по формулам (а):

Приложение 2

 

Градуировочная таблица термопары ХК при температуре холодного спая 0 °С

 

Температура горячего спая, °С	Температура
	ЭДС, мВ
		0,07	0,13	0,20	0,26	0,32	0,39	0,46	0,52	0,59
	0,65	0,72	0,78	0,85	0,91	0,98	1,05	1,11	1,18	1,24
	1,31	1,38	1,44	1,51	1,57	1,64	1,70	1,77	1,84	1,91
	1,98	2,05	2,12	2,16	2,25	2,32	2,38	2,45	2,52	2,59
	2,66	2,73	2,80	2,87	2,94	3,00	3,07	3,14	3,21	3,23
	3,35	3,42	3,49	3,56	3,68	3,70	3,77	3,85	3,91	3,98
	4,05	4,12	4,19	4,26	4,33	4,41	4,48	4,55	4,62	4,69
	4,76	4,83	4,90	4,98	5,05	5,12	5,19	5,26	5,33	5,41
	5,48	5,56	5,63	5,70	5,78	5,85	5,92	5,99	6,07	6,14
	6,21	6,29	6,36	6,43	6,51	6,58	6,65	6,73	6,80	6,87
	6,95	7,02	7,10	7,17	7,25	7,32	7,40	7,47	7,54	7,63
	7,69	7,77	7,84	7,91	7,99	8,06	8,13	8,21	8,28	8,35
	8,43	8,50	8,58	8,65	8,72	8,80	8,88	8,95	9,02	9,10
	9,18	9,25	9,33	9,40	9,48	9,55	9,63	9,70	9,78	9,85
	9,93	10,00	10,08	10,16	10,23	10,31	10,38	10.46	10,54	10,61
	10,69	10,77	10,85	10,92	11,00	11,08	11,15	11,23	11,31	11,38

Содержание

1 Цели работы
2 Задание
3 Теоретические основы
4 Метод трубы
5 Лабораторная установка
6 Результаты эксперимента
7 Обработка опытных данных
8 Оценка погрешности опыта
9 Вопросы для самопроверки
Список литературы
Приложение 1 Пример использования метода наименьших квадратов для обработки опытных данных
Приложение 2 Градуировочная таблица термопары ХК при температуре холодного спая 0 °С

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: