 |
Проверка гипотезы о виде распределения
|
|
|
|
Проверка гипотезы о законе распределения значения признака 
в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.
Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборке, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.
Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.
Теоретические частоты 
вычисляются по формулам:
1) в случае дискретной случайной величины 
, где – объем выборки; 
– вероятность случайной величины принять значения равное 
.
2) в случае непрерывной случайной величины 
, где – объем выборки, 
– середина интервала; 
– функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке ; h – длина интервала.
Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона 
, основанного на статистике:
где 
– опытные частоты, 
– выравнивающие частоты.
Гипотеза отвергается, если вычисленное значение 
окажется больше критического 
, найденного по таблицам распределения 
для уровня значимости 
и числа степеней свободы 
, где 
– число интервалов, 
– число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).
Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r =2, то число степеней свободы 
.
Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим (
50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти 
. Интервалы, у которых 
<5 нужно объединить, а их частоты сложить.
|
|
|
Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости 
. Найдем выравнивающие частоты.
Таблица 4.
| 
| 
| 
| 
| 
|
| |||
| 6,97 |  11
| -2,09 | -2,34 | 0,0258 | 1,2412 | 12
| |||
| 7,40 | -1,66 | -1,86 | 0,0707 | 3,4014 | |||||
| 7,83 | -1,23 | -1,38 | 0,1569 | 7,5485 | |||||
| 8,26 | -0,80 | -0,89 | 0,2685 | 12,9176 | |||||
| 8,69 | -0,37 | -0,41 | 0,3668 | 17,6469 | |||||
| 9,12 | 0,06 | 0,07 | 0,3980 | 19,1479 | |||||
| 9,55 | 0,49 | 0,55 | 0,3429 | 16,4970 | |||||
| 9,98 | 0,92 | 1,03 | 0,2347 | 11,2915 | |||||
| 10,41 |  11
| 1,35 | 1,51 | 0,1276 | 6,1389 | 9
| |||
| 10,84 | 1,78 | 1,99 | 0,0551 | 2,6509 | |||||
Находим с учетом объединения интервалов (объединяем первый, второй и третий интервалы, а также девятый и десятый)
= 
=3,15.
Определим . Число степеней свободы 
=7–3=4, тогда при уровне значимости 
имеем 
=9,5.
Имеем < 
. Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.
Вид функции плотности вероятности данной случайной величины, распределённой по нормальному закону в нашем случае:
.
Интегральная функция распределения такова
.
Построим кривую Гаусса данного распределения. Найдем максимум кривой Гаусса
.
|
|
Рисунок 6. –.Полигон частот и кривая Гаусса
Приложение 1
Таблица значений функции 
| 0.0 | 0.3989 | |||||||||
| 0.1 | ||||||||||
| 0.2 | ||||||||||
| 0.3 | ||||||||||
| 0.4 | ||||||||||
| 0.5 | ||||||||||
| 0.6 | ||||||||||
| 0.7 | ||||||||||
| 0.8 | ||||||||||
| 0.9 | ||||||||||
| 1.0 | 0.2420 | |||||||||
| 1.1 | ||||||||||
| 1.2 | ||||||||||
| 1.3 | ||||||||||
| 1.4 | ||||||||||
| 1.5 | ||||||||||
| 1.6 | ||||||||||
| 1.7 | ||||||||||
| 1.8 | ||||||||||
| 1.9 | ||||||||||
| 2.0 | 0.0540 | |||||||||
| 2.1 | ||||||||||
| 2.2 | ||||||||||
| 2.3 | ||||||||||
| 2.4 | ||||||||||
| 2.5 | ||||||||||
| 2.6 | ||||||||||
| 2.7 | ||||||||||
| 2.8 | ||||||||||
| 2.9 | ||||||||||
| 3.0 | 0.0044 | |||||||||
| 3.1 | ||||||||||
| 3.2 | ||||||||||
| 3.3 | ||||||||||
| 3.4 | ||||||||||
| 3.5 | ||||||||||
| 3.6 | ||||||||||
| 3.7 | ||||||||||
| 3.8 | ||||||||||
| 3.9 |
|
|
|
Приложение 2
Критические точки распределения χ2
| Число степеней свободы | Уровень значимости α | |||||
| 0.01 | 0.025 | 0.05 | 0.95 | 0.975 | 0.89 | |
| 6.6 | 5.0 | 3.8 | 0.0039 | 0.00098 | 0.00016 | |
| 9.2 | 7.4 | 6.0 | 0.103 | 0.051 | 0.020 | |
| 11.3 | 9.4 | 7.8 | 0.352 | 0.216 | 0.115 | |
| 13.3 | 11.1 | 9.5 | 0.711 | 0.484 | 0.297 | |
| 15.1 | 12.8 | 11.1 | 1.15 | 0.831 | 0.554 | |
| 16.8 | 14.4 | 12.6 | 1.64 | 1.24 | 0.872 | |
| 18.5 | 16.0 | 14.1 | 2.17 | 1.69 | 1.24 | |
| 20.1 | 17.5 | 15.5 | 2.73 | 2.18 | 1.65 | |
| 21.7 | 19.0 | 16.9 | 3.33 | 2.70 | 2.09 | |
| 23.2 | 20.5 | 18.3 | 3.94 | 3.25 | 2.56 | |
| 24.7 | 21.9 | 19.7 | 4.57 | 3.82 | 3.05 | |
| 26.2 | 23.3 | 21.0 | 5.23 | 4.40 | 3.57 | |
| 27.7 | 24.7 | 22.4 | 5.89 | 5.01 | 4.11 | |
| 29.1 | 26.1 | 23.7 | 6.57 | 5.63 | 4.66 | |
| 30.6 | 27.5 | 25.0 | 7.26 | 6.26 | 5.23 | |
| 32.0 | 28.8 | 26.3 | 7.96 | 6.91 | 5.81 | |
| 33.4 | 30.2 | 27.6 | 8.67 | 7.56 | 6.41 | |
| 34.8 | 31.5 | 28.9 | 9.39 | 8.23 | 7.01 | |
| 36.2 | 32.9 | 30.1 | 10.1 | 8.91 | 7.63 | |
| 37.6 | 34.2 | 31.4 | 10.9 | 9.59 | 8.26 | |
| 38.9 | 35.5 | 32.7 | 11.6 | 10.3 | 8.90 | |
| 40.3 | 36.8 | 33.9 | 12.3 | 11.0 | 9.54 | |
| 41.6 | 38.1 | 35.2 | 13.1 | 11.7 | 10.2 | |
| 43.0 | 39.4 | 36.4 | 13.8 | 12.4 | 10.9 | |
| 44.3 | 40.6 | 37.7 | 14.6 | 13.1 | 11.5 | |
| 45.6 | 41.9 | 38.9 | 15.4 | 13.8 | 12.2 | |
| 47.0 | 43.2 | 40.1 | 16.2 | 14.6 | 12.9 | |
| 48.3 | 44.5 | 41.3 | 16.9 | 15.3 | 13.6 | |
| 49.6 | 45.7 | 42.6 | 17.7 | 16.0 | 14.3 | |
| 50.9 | 47.0 | 43.8 | 18.5 | 16.8 | 15.0 |
|
|
|
ЛИтература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2005. – 479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2007. - 404 с.
3. Баранова И.М., Часова Н.А. Основы теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие. Ч. 1 Теория вероятностей. / И.М.Баранова [и др.]. – Брянск, 2011. – 140 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 4
1. Основные понятия математической статистики. 6
2. Построение вариационного ряда. 7
3. Графическое изображение вариационных рядов. 8
4. Эмпирическая функция распределения. 10
5. Основные выборочные характеристики. 12
6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности 18
7. Статистическая проверка гипотез. 22
8. Предварительный выбор закона распределения. 25
9. Проверка гипотезы о виде распределения. 28
Приложение 1. 32
Приложение 2. 33
ЛИтература.. 34
Баранова И.М., Часова Н.А.
МАТЕМАТИКА
Статистическая обработка
экспериментальных данных
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы
для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной и заочной форм обучения
Формат Объем Тираж Заказ
Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел
Отпечатано: Печатный цех БГИТА
|
|
|
