 |
Методическая схема изучения функций. Изучение функций в классе функций
|
|
|
|
Методические схема изучения функции.
1. Рассмотреть подводящую задачу, с помощью которой мотивируется изучение новой функции.
2. На основе математизации эмпирического материала сформулировать определение функции (сообщить формулу).
3. Составить таблицу значений функции и построить "по точкам" её график.
4. Провести исследование основных свойств функции (преимущественно по графику)
5. Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.
Особенность схемы-исследования функции имеет наглядно-геометрический подход, аналитическое исследование имеет ограниченный характер. Схема применима в изучении линейной, квадратичной, степенной и других функций, с которыми учащиеся знакомятся в курсе алгебры.
Изучение функций в классе функций. Класс линейных функций.
Типичный для математики класс функций – линейные. Первоначальное представление связывается с равномерным прямолинейным движением или с построением графика некоторой линейной функции. Рассматривая второй источник можно убедиться в том, что график отдельно взятой линейной функции не может привести к формулированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.
Первый способ: использование загущения точек на графике. а) нанесение нескольких точек; б) наблюдение – все построенные точки расположены на одной прямой; в) проверка – берём произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значения функции; г) наносим точку на координатную плоскость – она принадлежит построенной прямой. Такой приём приведёт к пониманию того, что график любой линейной функции – прямая (выделение одного из свойств линейной функции), на его проведение потребует очень много времени и общие свойства формулируется на изолированных примерах.
|
|
|
Второй способ: по двум точкам. Этот способ предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций, выявление новых свойств не происходит.
При обучении происходит последовательная схема этих способов.
Для изучения класса линейных функций в совокупности его общих свойств перед учащимися ставится познавательная задача исследовать класс функций 
в зависимости от параметров, здесь лучше всего рассмотреть несколько функций с различными параметрами,
Например: Постройте графики функций 
у=0.5х; у=0.5х+ 0.5; у=1.5х; у=1.5х+0.5.
Дальше необходимо их сравнить, обращая внимание на особенности, связанные с числовыми значением коэффициентов.
Например, изучая геометрический смысл коэффициентов при переменной, отличаем одинаковость углов наклонов к оси 
, чем меньше этот коэффициент, тем меньший угол наклона образует прямая с осью. После этого формулируется вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента и вводится понятие "угловой коэффициент". Закрепляющие упражнения: на одном и том же чертеже изображены графики функций у=3х+2; у=3\4х+2. Построить на этом чертеже графики функций у=3х-1; у=3\4х -1; объяснить построение.
Класс квадратичных функций.
Изучение класса квадратичных функций основано на преобразовании к виду: a(x-b) 
+с, использовании геометрических для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения – графика функции 
. Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратичными уравнениями и неравенствами.
Первая функция этого класса –- 
. Эта функция не монотонна на области определения. Если учащимся предложить найти область значения функции на 
, то в большинстве случаев они записывают 
. Устранение ошибки – построение графика.
|
|
|
Характер изменения значений функции неравномерный, что можно показать при построении графиков: а) в крупном масштабе на 
; б) в мелком масштабе на 
. Важно отметить свойство параболы – симметричность относительно оси ординат. Применение функции 
- введение иррационального числа – графическое решение уравнения 
.
Класс квадратичных функций начинается с изучения функции 
и выяснения смысла коэффициента а (геометрического). Затем вводятся функции вида 
и выясняется смысл второго коэффициента (например, как перенос по оси у).
Например: задан график функции 
. Построить на этом чертеже график функции 
.
Достаточно сравнить значения этих функций при одних и тех же значениях аргумента. В дальнейшем это свойство можно обобщить: чтобы построить график функции 
по известному графику функции 
, можно произвести параллельный перенос второго графика на 
единиц вдоль оси ординат. Итак, первый коэффициент при 
влияет на направление ветвей, свободный член – означает параллельный перенос, выяснение значения коэффициента при х затруднено, поэтому используют обходной маневр: и рассматривают: 
.
При изучении функций можно использовать системы заданий, имеющих цель – дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого числа без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом.
Пример. На рисунке изображены графики функций 
и 
. Как относительно них пройдёт график функции 
?
Это задание не предполагает точного построения искомого графика: достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.
Пример. На рисунке изображён график функции 
-2 
. Пользуясь этим чертежом изобразить от руки график функции 
. Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции при 
и отметить эти точки графика. Каким преобразованием можно перенести график функции 
в график функции ? Цель задания – согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и форму.
Пример: В таблице приведены значения величин, равномерно меняющейся со временем. Однако за счёт неизбежных погрешностей в измерениях нет возможности строго выдерживать заданный режим, заметны небольшие отклонения от равномерности. Указать закон изменения скорости в заданном промежутке и отклонение от него, имеющееся в таблице.
|
|
|
| t, мин | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
 ,км/ч
| 20 | 30,1 | 39,8 | 50 | 60,1 |
Цель – пропедевтика систематической работы над приближёнными вычислениями, формирование полноценных представлений о приложениях математики.
Изучение функции в классе элементарных функций.
Элементарные функции: целые, рациональные, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и их комбинации. В классе элементарных функций имеются две группы операций:
1) арифметические;
2) операции композиции и обращения функций.
Введение арифметических операций над числовыми функциями неявно. По существу происходит перенос действий из одной области в другую неосознанно. Решение заданий на сравнение значения 
и 
или аналогичных значений для других одноименных функциональных и числовых операций позволит осознать действие операций.
Пример:
a) Даны многочлены 
и 
.Вычислить сумму этих многочленов при x=0,5
b) Рациональное выражение 
можно представить в виде
.
Пользуясь таким представлением, найти разность функций
и 
в точках 
.
c) Вычислить значение функции 
при 
, пользуясь таблицами Брадиса (или компьютером).
Наводящий вопрос: каким из двух способов вычисления значений данного выражения проще провести выкладки?
Целесообразно при изучении графиков функций рассмотреть графическую иллюстрацию функций вида
, 
,
используя построения по точкам и учитывая простейшие особенности тех функций, которые составляют формулу данной функции.
Изучение операций второй группы вводятся посредством явного определения. Каждая из этих операций используется в изучении теоретического материала: композиция функций – сложная функция.
Понятие обратной функции, можно отнести к числу важнейших общих понятий в составе функциональной линии. При изучении выясняется зависимость её монотонности от монотонности её исходной функции.
Понятие непрерывности используется при построении графиков и способствует формированию понятия. Понятие непрерывности используется при изучении квадратного корня, при определении показательной функции, при рассмотрении графического метода решение уравнений и неравенств.
|
|
|
При изучении функций в X-XI классах большее предпочтение отдаётся аналитическому исследованию, и схема изучения функции выглядит следующим образом:
1) Рассмотреть подводящую задачу;
2) Сформулировать определение функции;
3) Провести аналитическое исследование свойств функции;
4) Построить (на основе данных аналитического исследования) график функции; в целях более точного его построения составить таблицу " характерных" значений функции и построить соответствующие графики;
5) Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.
Замечание: Знакомя учащихся со свойствами функции, следует помнить, что не все из них являются достаточно наглядными, поэтому не всегда график функции может подсказать их ученику. Например, посмотрите на рисунок
Графики каких функций здесь изображены?
Графики: 
и 
сумма функций 
.
Наиболее характерные случаи срабатывания "наглядности графиков":
1. корни уравнения 
2. решение 
3. 
–график 
выше 
4. возрастающая функция;
5. чётность функции;
6. графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой ;
7. 
Заключение
Обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция – отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения – понятие отношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала (теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия
Литература
1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
|
|
|
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.
|
|
|
