Метод множників лагранжа
Розглянемо окремий випадок загальної задачі нелінійного програмування (1), (2), припускаючи, що система обмежень (2) містить тільки рівняння, відсутні умови невід’ємності змінних і f (х1; х2;...; хп)і gi (х1; х2;...; хп) – функції, неперервні разом зі своїми частинними похідними f (х1; х2;...; хп)→ max (min); (16) gi (х1; х2;...; хп)= bi (i = У курсі математичного аналізу задачу (16), (17) називають задачею на умовний екстремум або класичною задачею оптимізації. Щоб знайти Розв’язок цієї задачі, вводять набір змінних λ 1, λ 2,..., λ m, що називаються множниками Лагранжа, складають функцію Лагранжа знаходять частинні похідні з п+т невідомими х1; х2;...; хп, λ 1, λ 2,..., λ m. Всяке Розв’язок системи рівнянь (19) визначає точку Х= (х 0 1; х 0 2;...; х 0 п),у якій може мати місце екстремум функції f (х1; х2;...; хп).Отже, вирішивши систему рівнянь (19), одержують всі точки, у яких функція (16) може мати екстремальні значення. Подальше дослідження знайдених точок проводять так само, як і у випадку безумовного екстремуму. Таким чином, визначення екстремальних точок задачі (16), (17) методом множників Лагранжа включає наступні етапи: 1. Складають функцію Лагранжа. 2. Знаходять частинні похідні від функції Лагранжа по змінним хj н λ j і прирівнюють їх нулю. 3. Вирішуючи систему рівнянь (19), знаходять точки, у яких цільова функція задачі може мати екстремум. 3. Серед точок, підозрілих на екстремум, знаходять такі, у яких досягається екстремум, і обчислюють значення функції (16) у цих точках. 3.12. За планом виробництва продукції підприємству необхідно виготовити 180 виробів. Ці вироби можуть бути виготовлені двома технологічними способами. При виробництві х1 виробів I способом витрати рівні 4 х1+х1 2грн., а при виготовленні х2 виробів ІІ способом вони складають 8 х2+х2 2 грн. Визначити, скільки виробів кожним зі способів варто виготовити, так щоб загальні витрати на виробництво продукції були мінімальними.
Розв’язок. Математична постановка задачі полягає у визначенні мінімального значення функції f= 4 x1 + x1 2+8 x2+x2 2 (20) при умовах х1 + х2 =180 (21) х1, х1 > 0 (22) Спочатку знайдемо Розв’язок задачі, використовуючи її геометричну інтерпретацію. Областю припустимих рішень вихідної задачі є відрізок прямої АВ (рис. 3.5), а лініями рівня – окружності із центром у точці Е (–2; –4). Рис. 3.5 Проводячи із точки Е окружності різних радіусів, бачимо, що мінімальне значення цільова функція приймає в точці В. Щоб знайти координати цієї точки, скористаємося тим, що кутовий коефіцієнт до окружності 4 x1 + x1 2+8 x2+x2 2= С у точці D збігається з кутовим коефіцієнтом прямої х1 + х2 =180 і, отже, дорівнює –1. Розглядаючи х2 як неявну функцію від x1 і диференціюючи рівняння окружності, маємо 4+2 x1 +8 х ′ 2 +2 х2х ′ 2 =0, або х ′ 2 =–(2+ х1)/(4+ х2). Прирівнюючи отримане вираження числу –1, одержуємо одне з рівнянь для визначення координат точки D. Приєднуючи до нього рівняння прямої, на якій лежить точка D, маємо систему звідки x1 *=91; x2 *=89. Це означає, що якщо підприємство виготовить 91 виріб I технологічним способом і 89 виробів II способом, то загальні витрати будуть мінімальними і складуть 17 278. грн. Вирішимо тепер задачу, використовуючи метод множників Ла-Гранжа. Знайдемо мінімальне значення функції (20) за умови (21), тобто без врахування вимоги невід’ємності змінних. Для цього складемо функцію Лагранжа F (х1, х2, λ) = 4 х1+х1 2 + 8 х2+х2 2 + λ(180– х1 – х2), обчислимо її частинні похідні по х1, х2,λі прирівняємо їх до нуля: Переносячи в праві частини перших двох рівнянь λ і прирівнюючи їх ліві частини, одержимо 4+2 х1 =8+2 х2, або х1–х2 =2.
Вирішуючи останнє рівняння разом з рівнянням х1 + х2 =180, знаходимо х1 *=91 і х2 *=89, тобто одержали координати точки D, що задовольняє умовам (22). Ця точка є підозрілою на екстремум. Використовуючи другі частинні похідні, можна показати, що в точці D функція f має умовний мінімум. Цей результат і був отриманий вище. Слід зазначити, що такий же результат ми одержимо і у тому випадку, якщо дослідження на умовний екстремум функції f зведемо до дослідження на безумовний екстремум функції f1, отриманої з f у результаті її перетворень. А саме: якщо з рівняння зв’язку (21) знайдемо х2 =180– х1 і підставимо це вираження в (20), то одержимо функцію однієї змінної х1: f1= 4 x1 + x1 2+8(180– x1) + (180– x1)2. Знайдемо стаціонарну точку цієї функції з рівняння 3.13. Знайти точки екстремуму функції f=х1 2 +х2 2при умові х1 + х2 =5. Розв’язок. Складемо функцію Лагранжа F(х1, х2,λ)= х1 2 +х2 2+λ(5– х1 – х2), знайдемо її частинні похідні по х1, х2 і λ іприрівняємо їх до нуля. У результаті одержимо систему рівнянь З першого і другого рівнянь маємо х1–х2 =0. Вирішуючи це рівняння разом із третім із системи (23), знаходимо х1 =5/2; х2 =5/2. Таким чином, у точці (5/2; 5/2) дана функція може мати умовний екстремум. Щоб визначити, чи досягається в цій точці умовний екстремум, потрібно провести додаткові дослідження. Зокрема, використовуючи другі частинні похідні, можна показати, що в цій точці функція має умовний мінімум і Fmin= 25/2. Метод множників Лагранжа можна застосовувати і у тому випадку, коли умови зв’язку являють собою нерівності. Так, якщо потрібно знайти екстремум функції z=f (X)за умови g (X)≤ b,то спочатку варто знайти точки безумовного екстремуму функції z=f (X)з рівнянь Точки, знайдені в результаті Розв’язок цієї системи, разом із точками, що визначені на першому етапі і задовольняють умові g (X)< b,підлягають подальшому дослідженню, як і при знаходженні безумовного екстремуму.
Читайте также: A) административные методы Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|