Базовые данные для выполнения лабораторных работ
Стр 1 из 2Следующая ⇒ В.Т. Кононов, Д.С. Худяков, Г.П. Чикильдин
ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
Учебное пособие для выполнения индивидуальных заданий по дисциплине «Цифровая обработка сигналов» для студентов АВТФ (специальность 210100) всех форм обучения
Новосибирск
УДК 621.372.083.92 (07)
Рецензенты: канд. техн. наук Г.В.Сероклинов, канд. техн. наук А.Б. Колкер
Данное учебное пособие составлено на базе материалов методических указаний для выполнения индивидуальных заданий по курсу «Методы цифровой фильтрации» разработанных А.С. Анисимовым и Г.П. Чикильдиным и изданных в 1995 году. Учебное пособие содержит общие сведения о фильтрации сигналов, необходимые расчетные соотношения для проектирования различных типов нерекурсивных фильтров с линейными фазовыми частотными характеристиками на основе модифицированного гармонического ряда Фурье и рекурсивных фильтров Чебышева на базе билинейного Z-преобразованияю. Приводятся выражения для расчета частотных характеристик фильтра, соотношения для моделирования на ЦВМ нерекурсивных фильтров посредством дискретной свертки и рекурсивных фильтров по каскадной схеме, программное обеспечение проектирования и функционирования фильтров, а также примеры решения характерных модельных задач нерекурсивной и рекурсивной фильтрации Пособие предназначено для выполнения индивидуальных заданий в рамках самостоятельной работы, практических занятий и лабораторных работ.
Новосибирский государственный технический университет, 2008 г. ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАЦИИ…………………………………. 5 1.1. Математические модели фильтров ………………………………….. 5
1.2. Типы фильтров ……………………………………………………….. 7 1.3. Погрешности фильтрации ……………………………………………. 9 2. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ …………………………………………. 12 2.1. Проектирование фильтра …………………………………………….. 12 2.2. Характеристики фильтра …………………………………………….. 14 2.3. Функционирование фильтра …………………………………………. 14 3. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ …………………………………………….. 16 3.1. Проектирование фильтра …………………………………………….. 16 3.2. Характеристики фильтра …………………………………………….. 22 3.3. Функционирование фильтра …………………………………………. 22 4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ……………………………………….. 24 4.1. Общие положения …………………………………………………….. 24 4.2. Базовые данные для выполнения лабораторных работ …………….. 27 4.3. Лабораторная работа № 1. Проектирование нерекурсивного фильтра ………………………….. 28 4.4. Лабораторная работа № 2. Функционирование нерекурсивного фильтра ………………………. 31 4.5. Лабораторная работа № 3. Проектирование рекурсивного фильтра …………………………….. 33 4.6. Лабораторная работа № 4. Функционирование рекурсивного фильтра …………………………. 36 4.7. Расчетно-графическая работа. Расчет нерекурсивного фильтра на базе модифицированного гармонического ряда Фурье …………. 38 5. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ …………………… 43 6. ПРИМЕРЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ …………………... 48 6.1. Общие положения …………………………………………………….. 48 6.2. Нерекурсивный спектральный анализ ………………………………. 48 6.3. Нерекурсивное сглаживание ………………………………………… 52 6.4. Нерекурсивное дифференцирование ………………………………… 53 6.5. Рекурсивный спектральный анализ …………………………………. 55 6.6. Рекурсивное сглаживание ……………………………………………. 57
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАХ 1.1. Математические модели фильтров Основными задачами фильтрации являются: 1) спектральный анализ сигнала, т.е. выделение совокупности гармонических составляющих определенного диапазона частот;
2) сглаживание сигнала, т.е. уменьшение в реализации сигнала уровня высокочастотных составляющих аддитивной помехи; 3) дифференцирование сигнала, зашумленного аддитивной помехой с высокочастотными составляющими.
Математическими моделями фильтров служат соотношения или уравнения, устанавливающие связь между входным и выходным сигналами фильтра. Математической моделью непрерывного фильтра является линейное дифференциальное уравнение n -го порядка
или соответствующая ему дробно-рациональная передаточная функция
где
а также интегральное уравнение свертки
Математической моделью рекурсивного фильтра является линейное разностное уравнение
представляющее дискретный аналог дифференциального уравнения, или соответствующая ему дробно-рациональная дискретная передаточная функция
где Математической моделью нерекурсивного фильтра является дискретная форма интегрального уравнения свертки –
причем импульсная характеристика нерекурсивного фильтра финитна, т.е. имеет конечную длительность
и его передаточная функция записывается в виде
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) и фазовая частотная характеристика (ФЧХ) непрерывных фильтров являются непериодическими функциями частоты
Типы фильтров В зависимости от характера обработки входного сигнала фильтры обладают различными АЧХ. При атом могут быть выделены четыре основных типа фильтров (низкочастотный (НЧФ), полосовой (ПФ), режекторный (РФ) и высокочастотный (ВЧФ) фильтры), а также представляющий значительный практический интерес дифференцирующий фильтр (ДФ). Идеализированные АЧХ На каждой АЧХ выделяются следующие полосы: 1) полоса пропускания для НЧФ и ДФ для РФ 2) переходная полоса для НЧФ и ДФ для РФ 3) полоса задерживания для НЧФ и ДФ для РФ Исходными данными при проектировании фильтра, полностью определяющими вид и качество его АЧХ, являются следующие параметры: 1) относительная неравномерность 2) относительная неравномерность 3) ширина
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Рис. 1.4 Рис. 1.5
Рис. 1.6
4) верхняя граничная частота 5) нижняя граничная частота 6) коэффициент усиления 7) шаг дискретизации по времени Граничные частоты Относительные неравномерности При проектировании фильтра удобно характеризовать ширину
![]()
1.3. Погрешности фильтрации При функционировании фильтра всегда возникает ошибка фильтрации, обусловленная отличием реального выходного сигнала фильтра
Рис. 1.7 1. Переходная погрешность возникает по причине динамических свойств фильтра и может достигать на интервале длительности 2. Шумовая погрешность обусловлена наличием составляющих частотного спектра помехи 3. Смешанная погрешность обусловлена наличием составляющих частотного спектра сигнала 4. Амплитудная погрешность возникает из-за не идеальности АЧХ в полосе пропускания и уменьшается при уменьшении параметра 5. Фазовая погрешность обусловлена не идеальностью ФЧХ
то при введении в выходной сигнал фильтра запаздывания на величину 6. Дискретная погрешность может возникать из-за дискретизации по времени обрабатываемой реализации, что порождает эффекты отражения и наложения периодических частотных спектров и требует выбора достаточно малого шага дискретизации по времени 7. Цифровая погрешность обусловлена конечной разрядностью представления чисел при цифровой реализации фильтра.
Уменьшение цифровой погрешности прямо связано с возможностями используемой вычислительной техники. Обеспечение требуемого уровня шумовой, смешанной, амплитудной и дискретной погрешностей достигается соответствующим выбором априори задаваемых параметров
2. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТЫ 2.1. Проектирование фильтра Проектирование нерекурсивного фильтра сводится к синтезу его передаточной функции
и необходимостью выполнения дополнительного условия
Фильтры вида 1 реализуют НЧФ, ПФ, РФ, и ВЧФ и описываются передаточной функцией
а фильтры вида 2 реализуют только ДФ и описываются функцией
Синтез передаточной функции 1. Определяется согласно выражениям (1.2) ширина 2. Вычисляется параметр
где
3. Определяется число членов аппроксимирующего ряда Фурье
где 4. Находится совокупность сглаживающих множителей Кайзера
причем значения
5. Вычисляются с учетом вводимых обозначений
искомые отсчеты 1) для НЧФ
2) для ПФ
3) для РФ
4) для ВЧФ
5) для ДФ
2.2. Характеристики фильтра Осуществляя в передаточной функции
получаем согласно выражениям (2.1) и (2.2) следующие расчетные соотношения для АЧХ 1) в случае НЧФ, ПФ, РФ, и ВЧФ
2) в случае ДФ
Свойства фильтра во временной области непосредственно описываются импульсной характеристикой 1) в случае НЧФ, ПФ, РФ, ВЧФ
2) в случае ДФ
2.3. Функционирование фильтра Вычисление дискретного значения 1) в случае НЧФ, ПФ, РФ и ВЧФ согласно выражению (2.1)
2) в случае ДФ согласно выражению (2.2)
причем в процессе вычислений необходимо полагать
3. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
3.1. Проектирование фильтра Проектирование рекурсивного фильтра сводится к синтезу его передаточной функции
и проектирование фильтра, реализуемого по каскадной схеме, предлагает последовательный синтез трех передаточных функций: 1) функции 2) функции 3) функции Передаточная функция низкочастотного фильтра-прототипа Чебышева характеризуется порядком
где
![]()
Синтез функции - неравномерности - неравномерности - параметра 1) вспомогательных параметров
2) порядка
3) количества пар комплексно-сопряженных полюсов
передаточной функции 4) вспомогательного параметра
5) вещественных и мнимых частей комплексных полюсов
6) дополнительного при
7) других параметров передаточной функции
![]() Передаточная функция требуемого непрерывного фильтра представляется в форме
где
![]() ![]() Синтез функции - верхней граничной частоты - верхней граничной частоты - коэффициента усиления - шага дискретизации по времени посредством предварительного определния: 1) параметра
2) количества
![]() пар комплексно-сопряжных полюсов
передаточной функции 3) расчетных верхней
и последующей, соответствующей для каждого типа фильтра, замены аргумента В случае НЧФ с учетом замены находим
В случае ПФ с учетом замены
находим
где
В случае РФ с учетом замены
и обозначений
находим
где
В случае ВЧФ с учетом замены находим
Передаточная функция требуемого рекурсивного фильтра представляется в форме
где
![]() Синтез функции
получаемого непосредственно из билинейного Z-преобразования (3.1). Такая замена с учетом обозначений
приводит к последующим расчетным соотношениям:
а также при 1) в случае НЧФ и ВЧФ
2) в случае ПФ и РФ
и дополнительно: 1) в случае НЧФ
2) в случае ПФ
3) в случае РФ
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|