Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Проверка статистических гипотез и дисперсионный анализ

Введение

Острая конкуренция на рынке товаров и услуг как внутри страны, так и на мировом уровне заставила многих производителей обратиться к статистическим методам управления и контроля качества. Статистические методы - это важное условие повышения качества продукции в современном производстве и необходимое средство повышения эффективности производственных процессов. Статистические методы применяются для анализа и контроля качества производственных процессов и произведенной продукции, а также для разработок новых технологий производства.

В настоящее время в международном стандарте ИСО 9001 одним из элементов Системы качества является элемент «Статистические методы».

Статистическое регулирование технологического процесса представляет собой корректировку параметров процесса по результатам выборочного контроля параметров продукции.

Среди простых статистических методов наибольшее распространение получили семь методов, выделенных в начале 50-х годов японскими специалистами под руководством К. Исикавы. К ним относятся: контрольные листки, гистограммы и графики, диаграммы рассеивания, причинно - следственные диаграммы Исикавы, диаграммы Парето, стратификация, контрольные карты. В своей совокупности эти методы образуют эффективную систему методов контроля и анализа качества. Семь простых методов могут применяться в любой последовательности, в любом сочетании, в различных аналитических ситуациях, их можно рассматривать и как целостную систему, как отдельные инструменты анализа.

Целью курсовой работы является систематизация, закрепление и расширение теоретических и практических знаний по специальности путем использования их в решении конкретных инженерных задач, а также формирование необходимых знаний о роли статистических методов.

Теория вероятности и описательная статистика

Теория вероятности

20 машин были доставлены на станцию технического обслуживания. При этом 5 из них имели неисправность в ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор?

Решение

Событие А - машина имеет неисправность в моторе

Событие B - машина имеет неисправность в ходовой части

P (A * B) -?

Так как события A и B - совместные, то воспользуемся следующей формулой:

P (A+B) = P(A) + P(B) - P (A*B)

P(A) = 8/20 - вероятность того, что машина имеет неисправность в моторе

P(B) = 5/20 - вероятность того, что машина имеет неисправность в ходовой части

P (A+B) = 10/20 - вероятность того, что машина неисправна

P (A*B) = P(A) + P(B) - P (A+B)

P (A*B) = 8/20 +5/20 - 10/20 = 3/20 = 0, 15

Ответ: вероятность того, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор равна 0, 15.

Дискретные случайные величины

Дисперсия случайной величины Х равна 8. Найти дисперсию следующих величин: а) Х-2; б) Х+6; в) ЗХ-2; г) 2Х+7.

Для вычисления дисперсии воспользуемся следующими свойствами:

1. D(C) = 0

2. D (X+Y) = D(X) + D(Y)

. D (X-Y) = D(X) + D(Y)

. D (k*X) = k^2*D(X)

По свойствам дисперсии:

а) D (X-2) = D(X) + D(2) = 8

б) D (X+6) = D(X) + D(6) = 8

в) D (3X-2) = D(3X) + D(2) = 9*D(X) = 9*8 = 72

г) D (2X+7) = D(2X) + D(7) = 4*D(X) = 4*8 = 32

Ответ: а) 8; б) 8; в) 72; г) 32.

Непрерывные случайные величины

Дифференциальная функция НСВ X задана на всей числовой оси ОХ:

f(x) = 4C/(1+x²)

Найти постоянный параметр С.

Решение

Параметр С найдем из условия:

Ответ:

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) F (х). Найти: а) вероятность попадания случайной величины Х винтервал (а; в); б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) f (х); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; г) построить графики функций F (х) и f (х).

Решение

а) Вероятность попадания случайной величины Х винтервал (а; в) найдем по формуле:

б) Найдем дифференциальную функцию f (х).

или

в) Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение вычислим по формуле:

г) Построим графики функций F (х) и f (х).

Описательная статистика

По выборке из своего варианта (объем выборки n = 20) выполнить следующие расчеты и задания:

. Построить вариационный ряд.

. Вычислить математическое ожидание, моду, медиану, стандартное отклонение, дисперсию, размах выборки, коэффициент вариации.

. Построить таблицу частот и накопленных частот для сгруппированной выборки (число интервалов не менее 4-х).

. Построить гистограмму частот.

. Ввести данные в пакет STATISTICA, выполнить все расчеты п. 2 - 4, сравнить результаты и записать в отчет.

Решение

1) Построим вариационный ряд, где n_i-частота

x_i	3	4	5	6	7	8	10	11	12
n_i	3	3	3	2	1	2	2	3	1

n=20 - объем выборки

) Вычислим математическое ожидание по формуле:

Вычислим дисперсию по формуле:

Мода:

В вариационном ряду наибольшей частотой обладают сразу несколько вариант x=3, x=4, x=5 и x=11, следовательно, моды нет.

Медиана:

M e =

Стандартное отклонение:

Размах:

R = 12 - 3 = 9

Коэффициент вариации:

3) Построим таблицу частот и накопленных частот

Для этого разобьем вариационный ряд на интервалы. Число интервалов вычисляем с помощью формулы:

А k находим по формуле Стерджесса k =1+3,322 lgn

k =1+3,322 lg 20= 5,3

h =9/5,3≈1,69, для удобства округляем до числа h =1,8

№	Интервал	Частота n_i	Относительная частота n_i / n	Накопленная частота
1	3 - 4,8	6	6/20=0,3	6
2	4,8 - 6,6	5	5/20=0,25	11
3	6,6 - 8,4	3	3/20=0,15	14
4	8,4 - 10,2	2	2/20=0,1	16
5	10,2 - 12	4	4/20=0,2	20

4) Построим гистограмму частот.

5) Выполним расчеты в пакете STATISTICA.

Сравнив результаты, можно сделать вывод, что вычисленные вручную данные и расчеты, выполненные в пакете STATISTICA.

Проверка статистических гипотез и дисперсионный анализ

Статистические гипотезы

По данным таблиц наблюдений для каждого ряда распределения необходимо:

. вычислить статистики (оценки) положения, рассеяния; коэффициенты асимметрии, эксцесса;

. проанализировать исходные данные и результаты расчетов, сделать предварительные выводы, основываясь на практических вопросах задания;

. провести проверку статистических гипотез для всех статистик (оценок);

. провести сравнение результатов расчетов;

. ответить на практические вопросы задания (сделать выводы).

Анализ продуктов питания

Лаборатория проводит анализ продуктов питания с целью определения наличия в них вредных веществ. С определенным видом продуктов работают два лаборанта, результаты анализов сравниваются. Продукты поступают из двух пунктов. Лаборатория должна дать заключение, где производятся наиболее «чистые» продукты. Кроме того, руководителя лаборатории интересует вопрос: отличаются ли по точности результаты экспериментов у первого и второго лаборанта? Им было предложено независимо проанализировать одни и те же образцы. Для этих образцов необходимо было определить содержание вредного вещества X, мг. В единице объема продукта количество X не должно превышать 15. Данные измерений представлены таблицами 1-4.

Таблица 1. Лаборант №1, пункт №1; N₁=120

X_j	11,0	12,0	12,7	13,0	13,8	14,0	15,0	15,6	17,0	18,0
n_j	2	2	7	16	30	35	20	5	2	1

Таблица 2. Лаборант №1, пункт №2; N₂=25

X_j	12,0	12,8	13,5	14,0	14,7	15,6	16,0
n_j	1	2	5	10	4	2	1

Таблица 3. Лаборант №2, пункт №1; N₃=110

X_j	10,0	12,0	13,5	14,2	14,9	15,2	16,0	17,5	19,0
n_j	2	10	17	30	25	17	5	3	1

Таблица 4. Лаборант №2, пункт №2; N₄=20

X_j	11,5	12,7	13,6	14,2	15,0	15,2	16,5
n_j	1	1	3	10	3	1	1

Сформулируйте и проверьте статистические гипотезы, на основании которых можно выяснить:

можно или нет двум пунктам поставки продуктов, предъявить сертификат качества?

одинакова ли квалификация обоих лаборантов (то есть, отличаются ли у них значимо результаты анализов)?

Условия		3.3
Уровень значимости б	для 1-ой гипотезы	0,02
	для 2-ой гипотезы	0,005

Решение

Вычислим математическое ожидание по следующей формуле:

Найдем математическое ожидание для Лаборант №1, пункт №1:

==13.97

Найдем математическое ожидание для Лаборант №1, пункт №2:

Найдем математическое ожидание для Лаборант №2, пункт №1:

= = 14,34

Найдем математическое ожидание для Лаборант №2, пункт №2:

Найдем среднее значение:

Вычислим дисперсию по следующей формуле:

Найдем дисперсию для Лаборант №1, пункт №1:

Найдем дисперсию для Лаборант №1, пункт №2:

Найдем дисперсию для Лаборант №2, пункт №1:

Найдем дисперсию для Лаборант №2, пункт №2:

Н₀: Двум пунктам Лаборант №1, пункт №1 и Лаборант №1, пункт №2 поставки продуктов можно предъявить сертификат качества.

Для проверки гипотезы используем критерий Фишера:

, следовательно, гипотеза принимается, т.е. двум пунктам поставки продуктов можно предъявить сертификат качества.

Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:

Н₀: Двум пунктам Лаборант №2, пункт №1 и Лаборант №2, пункт №2 поставки продуктов можно предъявить сертификат качества.

Для проверки гипотезы используем критерий Фишера:

Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:

H _0: Результаты, полученные Лаборант №1, пункт №1 и Лаборант №2, пункт №1 не отличаются друг от друга.

Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:

, следовательно, гипотеза принимается, т.е. различия результатов анализа продуктов питания, полученные двумя лаборантами, не отличаются статистически значимо по величине.

H _0: Результаты, полученные Лаборант №1, пункт №2 и Лаборант №2, пункт №2 не отличаются друг от друга.

Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:

Таким образом, квалификация обоих лаборантов одинакова.

Дисперсионный анализ

Для изготовления каждой партии ламп была взята проволока разных заводов-изготовителей. Все же прочие условия производства были одинаковыми для каждой партии. Требуется выяснить, отличаются ли партии ламп между собой по сроку службы. Данные наблюдений представлены в таблицах.

Таблица 6 - Исходные данные

Партия	Результаты наблюдений, Х - срок службы, тыс. час
	1	2	3	4	5	6	7
1	1,6	-	1,51	1,52	1,68	1,67	1,53
2	1,62	1,82	1,46	1,55	1,66	1,64	1,6
3	1,68	-	1,6	1,61	1,72	1,7	1,65

Уровень значимости a = 0,01

Решение

N=19, a=3, n=7.

N
1.	6	9,51	1,585	-0,02; -1,62; -0,11; -0,1; 0,06; 0,05; - 0,09	-0,21	-0,035	0,0441	0,00735
2.	7	11,35	1,621428	0; 0,2; -0,16; -0,07; 0,04; 0,02; -0,02	0,01	0,001428	0,0001	0,0000143
3.	6	9,96	1,66	0,06; -1,62; -0,02; -0,01; 0,1; 0,08; 0,03	0,24	0,04	0,0576	0,0096

Выдвигаем гипотезу Ho о том, что партия ламп не отличается друг от друга по сроку службы.

- общая сумма квадратов разности наблюдений и их среднего значения

SS =0,0169643+0,11403=0,1309

Вычислим число степеней свободы.

При доказательстве нулевой гипотезы используем критерий Фишера:

(0,01; 2; 16)=6,226

Так как, то нулевая гипотеза принимается, т.е. партия ламп не отличается друг от друга по сроку службы.

12 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: