Теплообмен теплопроводностью

Распространение тепла теплопроводностью происходит в теле с неоднородным полем температуры. Температурное поле - это совокупность значений температуры во всех точках области пространства в данный момент времени. В общем случае температурное поле определяется зависимостью

t = f(x,y,z,t),

где t - температура в точке; x,y,z - координаты точки; t - время.

Если температура не меняется во времени, то поле называется стационарным, если меняется - не стационарным.

Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру называется, изотермической поверхностью. Наибольшее изменение температуры в теле происходит по нормали к изотермическим поверхностям. Предел отношения изменения температура Dt к расстоянию между изотермическими поверхностями по нормали Dn называется температурным градиентом

grad t = lim (Dt/Dn) _{n 0} = dt/dn.

Для характеристики интенсивности распространения теплоты в температурном поле вводят понятия плотности теплового потока, т.е. количества теплоты, передаваемой через единицу площади изотермической поверхности в единицу времени

q = Q/Ft, [q] = [Дж/с м²] = [Вт/м²].

Количественную взаимосвязь между температурным полем и интенсивностью распространения в нем теплоты устанавливает закон Фурье, или основной закон теплопроводности: количество тепла dQ ², переданного теплопроводностью, пропорционально градиенту температуры d t/ d n, времени d t и площади сечения F теплового потока, т.е.

d²Q = -l dt/dn dFdt,

или плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры в направлении нормали к изотермической поверхности

q = - l grad t,

знак “‑”показывает, что векторы градиента температуры и плотности теплового потока противоположны по направлению.

Коэффициент пропорциональности в уравнениях называется коэффициентом теплопроводности, который показывает какое количество теплоты проходит в следствие теплопроводности через 1 м длины нормали к изотермической поверхности при разности температур 1 град, т.е.

l = [ Вт/(м К)].

Коэффициент теплопроводности зависит от температуры и давления. С повышением температуры он возрастает для газов и большинства твердых тел и уменьшатся для жидкостей (кроме воды и глицерина).

Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Рассматривая распространение тепла в теле элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, и dz теплопроводностью, согласно закону теплопроводности Фурье, и на основании закона сохранения энергии (изменение тепла dQ идет на изменение энтальпии параллелепипеда) получают дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье:

dt l d²t d²t d²t
── = ─── ─── + ─── + ───.
dt cr dx² dy² dz²

Множитель пропорциональности l/cr называют коэффициентом температуропроводности и обозначают а. Единицы измерения в системе “СИ” [a] = [м²/с].

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье обычно записывают в виде

dt d²t d²t d²t dt
── = а ─── + ─── + ─── или ── = а Ѳt
dt dx² dy² dz² dt

Уравнение позволяет решать задачи, связанные с теплопроводностью как в стационарном, так и в нестационарном режимах. При решении некоторых задач дифференциальное уравнение дополняется начальными и граничными условиями характеризующими рассматриваемую систему.

В процессах и аппаратах пищевых производств большое значение имеет решение задач распространения тепла теплопроводностью в плоских и цилиндрических стенках при стационарном режиме. Поэтому рассмотрим частные случаю передачи тепла теплопроводностью.