 |
Простейшая задача терминального управления. Формула приращения критерия качества.
|
|
|
|
Лемма Лагранжа. Дифференциальное уравнение Эйлера.
Лемма: если для непрерывной функции a(x), x=[a,b], и каждой допустимой вариации h(x), x=[a,b], выполняется равенство: 
то 
.
Доказательство [от противного]: 
. Для определенности 
. Известно, что непрерывная функция, имеющая в некоторой точке значение определенного знака, определяет знак, который она имела в этой точке некоторой окрестности. Если 
. Существует ε – окрестность точки 
. Рассмотрим 
.
, для любой вариации. Построим вариацию следующего вида:
 |
Получаем, что 
, а это противоречие. Ч.т.д.
Выпишем условие стационарности для простейшей задачи:
Первый интеграл перепишем, а второй проинтегрируем по частям.
.
, a(x) – непрерывна на [a,b].
- уравнение Эйлера. Ему удовлетворяют все слабые минимали.
Лемма Дюбуа – Раймона. Интегральное уравнение Эйлера.
Лемма: если 
для непрерывных b(x), определенных на [a,b], и всех вариаций g(x), для которых 
, то b(x)=const.
Доказательство: предположим, что b(x) не const, другими словами: 
такие, что 
. Для определенности положим, что
точек 
, что значение функции не опускается ниже средней полосы и не поднимается выше ее, т.е. для окрестности точки 
имеем: 
, для 
: 
Сконструируем эту вариацию следующим образом:
Функция g(x), которая изображена на рисунке удовлетворяет условию вариации, т.е. .
Ч.т.д.
Согласно лемме мы получаем:
-интегральное уравнение Эйлера.
Присоединенная задача о минимуме. Условие Лежандра – Клебша.
Задача минимизации 2 вариации, где функция h – допустимая вариация класса С(1) называется присоединенной задачей о минимуме.
(*)
Если 
слабая минималь, то по необходимому условию 
. Если взять h(x)=0, то 
. Следовательно h(x) – решение задачи (*). Присоединенная задача и минимуме имеет решение.
|
|
|
Условие Лежандра – Клебша: для каждой слабой минимали, определенной на [a,b]:
Исследование второй вариации. Условие Якоби. Достаточные условия слабого минимума.
Опр. Говорят, что вдоль допустимой кривой 
в точке 
сопряжена с точкой 
, если 
нетривиальное решение уравнения 
.В начальной точке: 
. Теорема Якоби. Вдоль неособой минимали 
на интервале 
нет точек, сопряжённых с точкой . Тогда уравнение Якоби тривиального решения не имеет. Теорема без доказательства. Говорят, что допустимая кривая удовлетворяет усиленному условию Лежандра–Клебша, если 
. Говорят, что допустимая кривая удовлетворяет условию Якоби, если вдоль неё на полуинтвервале не существует точек, сопряжённых с точкой . Эти два последних определения позволяют сформулировать достаточное условие минимума. Допустимая кривая является слабой минималью, если она является экстремалью. Выполнено усиленное условие Лежандра–Клебша и усиленное условие Якоби.
Простейшая задача оптимального управления.
Постановка задачи. Пусть движение управления объекта описывается: 
(1)
- непрерывна по всем аргументам и непрерывна 
.
Опр. Допустимым управлением называется r-мерная кусочно-непрерывная функция u(t), t∊T и принимающая значение из заданного множества U.
u(t)∊U.
Каждому допустимому управлению u(t) соответствует некоторое решение х(t) системы (1), которая называется допустимой траекторией.
Качество процесса оценивается некоторой величиной
(2)- положение объекта в момент времени 
скалярная
Среди допустимых управлений найти то, на котором критерий качества (2) достигает минимального значения.
- оптимальное управление
- оптимальная траектория
Задача называется задачей управления конечным состоянием.
|
|
|
Простейшая задача терминального управления. Формула приращения критерия качества.
Имеем 
u(t) оптим., если 
(3), 
(4), 
, следовательно на левом конце: 
.
Рассмотрим функцию 
и некоторую вспомогательную функцию 
- кусочно-гладкая непрерывная функция.
Рассмотрим 
и продифференцируем это произведение по t, получим: 
.
С учетом этого приращение функции будет иметь вид:
- формула приращения качества.
|
|
|
