 |
Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы
|
|
|
|
Рассмотрим вынужденные колебания в системе из двух индуктивно связанных контуров, в один из которых включен источник внешнего переменного напряжения u 0(t) = U 0cos(w 0 t) (рис. 62).
Запишем уравнения колебаний для этих контуров, пренебрегая вначале затуханием (R 1 = R 2 = 0):
Уравнения колебаний токов принимают в этом случае вид
| 
Рис. 62. Схема связанных контуров при внешнем воздействии.
| |
| (7.14) | |
где обозначено
, 
, 
, 
.
Система линейная, следовательно, в силу принципа суперпозиции, колебания в системе будут состоять из собственных колебаний с частотами w 1 и w 2 и вынужденных колебаний с частотой внешней силы w 0. Собственные колебания ищем в виде
, 
.
Подставив в (7.14), получим следующую систему уравнений относительно амплитуд A и B:
, 
.
Известно, что система имеет нетривиальное решение, если её детерминант равен нулю:
.
Решив это уравнение, можно найти выражение для собственных частот:
.
Нетрудно найти выражение для коэффициентов распределения амплитуд:
.
Вынужденные колебания происходят на частоте внешней силы. Так как нет диссипации, то сдвиг фаз будет равен нулю, следовательно, решение уравнений (7.14) для вынужденных колебаний будем искать в виде
, 
.
Подставляя в исходное уравнение (7.14), получим
 ,  .
| (7.15) |
Из второго уравнения найдём коэффициент распределения амплитуд вынужденных колебаний
.
Видно, что c 0(w 0 = w 1) = c 1, а c 0(w 0 = w 2) = c 2. Таким образом, отношение амплитуд вынужденных колебаний в контурах совпадает с отношением амплитуд при собственных колебаниях (на соответствующей частоте). Решая систему (7.15), получим выражения для амплитуд:
 ,  .
| (7.16) | |
Рис. 63. Зависимости I 1 и I 2 для консервативной системы с двумя степенями свободы от частоты внешней силы.
| На рис. 63 приведены зависимости I 1 и I 2 от частоты внешней силы w 0. В точках w 0 = w 1 и w 0 = w 2 амплитуды I 1 и I 2 обращаются в бесконечность. Таким образом, в системе с двумя степенями свободы резонансное увеличение амплитуды колебаний происходит на обеих собственных частотах системы. При w 0 < n 2 токи совершают противофазные колебания, а при w 0 > n 2 - синфазные. В точке w 0 = n 2 амплитуда I 1 обращается в нуль, т. е. происходит гашение колебаний в первом контуре. Это явление легко объяснить тем, что в отсутствие потерь на частоте n 2 обратная реакция второго контура на первый точно равна внешнему воздействию. Во втором контуре колебания не обращаются в нуль ни при каком конечном w 0. Частота успокоения в общем случае зависит от того, в какую из ветвей сложного контура включена внешняя ЭДС. Она всегда равна парциальной частоте того контура, | |
который получается при разрыве цепи в точке включения ЭДС.
|
|
|
Выясним физическую причину отсутствия колебания в первом контуре при w 0 = n 2. Для этого рассчитаем ЭДС, наводимую в первом контуре на этой частоте колебаниями второго контура (воспользуемся уравнением (7.16), положив w 0 = n 2):
.
Как видно, u в точности компенсирует внешнюю ЭДС, поэтому вынужденные колебания в первом контуре на частоте n 2 не происходят.
Задачу о вынужденных колебаниях в диссипативной системе удобно решать с помощью МКА. Рассматривая систему связанных контуров (рис. 62) относительно входных зажимов как линейный двухполюсник с полным сопротивлением Z, получим из уравнений (7.14)
, 
.
Решая эту систему уравнений, находим полное сопротивление
 .
| (7.17) |
Условие резонанса в этом контуре сводится к равенству нулю реактивного сопротивления, т. е. Im Z (w 0) = 0. Введём относительные расстройки контуров
, 
и парциальные декременты затухания
, 
.
Тогда условие резонанса будет иметь вид:
|
|
|
.
В случае одинаковых парциальных частот контуров (n 1 = n 2 = n) относительные расстройки равны (D1 = D2 = D), и мы получаем очень простое условие резонанса:
.
Из этого уравнения находим три значения D:
, 
.
Следовательно, система двух связанных контуров имеет три резонансные частоты
, 
, 
.
Рис. 64. Резонансные кривые двух связанных контуров с равными парциальными частотами при коэффициенте связи меньшем критического (1), равным критическому (2) и большем критического (3).
| Если затухание во втором контуре велико ( ), то остаётся одна резонансная частота w 01 = n. Система с двумя степенями свободы ведёт себя в этом случае как система с одной степенью свободы. Если затухание мало (при  ), то резонанс возможен на всех трёх частотах. Коэффициент связи, при котором выполняется условие  называется критическим. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) двух связанных контуров при различных коэффициентах связи показана на рис. 64. При критической связи АЧХ связанных контуров имеет плоскую вершину и более крутые, чем одиночный контур, склоны.
|
Рассмотрим теперь особенности вынужденных колебаний в двухконтурной системе без потерь при одновременном действии внешних источников в обоих контурах (u 01 и u 02). Уравнения колебаний для токов в таких контурах имеют вид:
, 
.
Мы считаем, что внешние источники действуют на одной и той же частоте и синфазны, т. е. u 01 = U 01cos(w 0 t), u 02 = U 02cos(w 0 t). Решая методом комплексных амплитуд, находим
 ,
 .
| (7.18) |
Из (7.18) вытекают два интересных следствия. Это, во-первых, принцип взаимности, который гласит: амплитуда вынужденных колебаний во втором контуре при включении некоторого источника в первый равна амплитуде колебаний в первом контуре, если тот же источник включить во второй контур, т. е. I 2(U 02 = 0, U 01 = U) = I 1(U 01 = 0, U 02 = U). Принцип взаимности является следствием линейности системы. Этот принцип можно доказать, хотя и более громоздко, и для контуров с потерями. Важное для радиофизики следствие принципа взаимности - диаграммы направленности антенн на излучение и на приём одинаковы.
Вторая особенность вынужденных колебаний в системе с двумя степенями свободы заключается в том, что при определённом соотношении между амплитудами внешних источников в системе может отсутствовать резонанс, даже если частота внешнего источника совпадает с одной из нормальных (собственных) частот. Это происходит, когда и числитель и знаменатель в соотношениях (7.18) обращаются в нуль. Например, для частоты w 0 = w 1 соотношение между амплитудами имеет вид
|
|
|
 .
| (7.19) |
Условие (7.19) называется условием ортогональности внешней силы собственному колебанию с частотой w 1.
|
|
|
